bzoj 3218 a + b Problem 最小割+主席树优化建图

最新推荐文章于 2025-04-30 09:52:29 发布

mysterynoip

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分类专栏：【OJ】BZOJ 【算法】网络流【算法】最小割【数据结构】主席树

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本文介绍了一种使用主席树优化最小割算法的方法，通过优化建图过程减少边的数量至O(nlogn)，解决了原O(n^2)复杂度带来的时间和空间问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

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解法

比较显然的最小割，不妨考虑如何建图。
首先将 $S$ 连向每一个点 $i$ ，容量为 $w [i]$ ，表示割这条边点 $i$ 的颜色为黑色； $i$ 向 $T$ 连容量为 $b [i]$ 的边，表示割这条边点 $i$ 的颜色为白色。对于 $j$ 满足 $1\leq j<i$ 且 $a[j]\in [l[i],r[i]]$ ，连接 $i^{'}$ ，容量为 $\infty$ ；最后每一个 $i^{'}$ 向 $i$ 连一条容量为 $p [i]$ 的边，这样我们就可以表示出一个奇怪的点的情况了。
但是这样建图的话边数是 $O(n^2)$ 的，时间和空间都无法承受。
然后我们可以发现，使 $i$ 可能成为奇怪的点的 $j$ ，满足一个二维数点的关系，并且下标的范围为一段前缀。
那么我们可以考虑用主席树来优化这个过程，即每一次连边的时候用一段区间和当前的 $i^{'}$ 连边。对于主席树上的节点，从下向上连接容量为 $\infty$ 的边即可。
最后边数就被我们优化成 $O(n\log n)$ 了，问题得到解决。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
const int N = 10010, M = N * 15; const ll inf = 1ll << 60;
int cnt, tot, rt[N], b[M], l[M], lc[M], rc[M], cur[M], head[M];
struct Info {int a, b, w, l, r, p;} q[N];
struct Edge {int next, num; ll c;} e[M * 3];
void add(int x, int y, ll c) {e[++cnt] = (Edge) {head[x], y, c}, head[x] = cnt;}
void Add(int x, int y, ll c) {add(x, y, c), add(y, x, 0);}
bool bfs(int s, int t) {
	for (int i = s; i <= tot; i++) l[i] = -1;
	queue <int> q; q.push(s), l[s] = 0;
	while (!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		for (int p = head[x]; p; p = e[p].next) {
			int k = e[p].num; ll c = e[p].c;
			if (c && l[k] == -1) l[k] = l[x] + 1, q.push(k);
		}
	}
	return l[t] != -1;
}
ll dfs(int x, int t, ll lim) {
	if (x == t) return lim; ll ret = 0;
	for (int &p = cur[x]; p; p = e[p].next) {
		int k = e[p].num; ll c = e[p].c;
		if (c && l[k] == l[x] + 1) {
			ll w = dfs(k, t, min(lim - ret, c));
			e[p].c -= w, e[p ^ 1].c += w, ret += w;
			if (ret == lim) return ret;
		}
	}
	if (!ret) l[x] = -1; return ret;
}
ll dinic(int s, int t) {
	ll ret = 0;
	while (bfs(s, t)) {
		for (int i = s; i <= tot; i++) cur[i] = head[i];
		ret += dfs(s, t, inf);
	}
	return ret;
}
int ins(int k, int l, int r, int x, int id) {
	int ret = ++tot; lc[ret] = lc[k], rc[ret] = rc[k];
	if (l == r) {
		Add(id, ret, inf);
		if (k) Add(k, ret, inf);
		return ret;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) lc[ret] = ins(lc[k], l, mid, x, id);
		else rc[ret] = ins(rc[k], mid + 1, r, x, id);
	if (lc[ret]) Add(lc[ret], ret, inf);
	if (rc[ret]) Add(rc[ret], ret, inf);
	return ret;
}
void query(int k, int l, int r, int L, int R, int id) {
	if (!k) return;
	if (L <= l && r <= R) return Add(k, id, inf), void();
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L <= mid) query(lc[k], l, mid, L, R, id);
	if (R > mid) query(rc[k], mid + 1, r, L, R, id);
}
int main() {
	int n, len = 0; read(n); ll ans = 0;
	int s = 0, t = 2 * n + 1; cnt = 1, tot = 2 * n + 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(q[i].a), read(q[i].b), read(q[i].w);
		read(q[i].l), read(q[i].r), read(q[i].p);
		ans += q[i].b + q[i].w;
		Add(s, i, q[i].w), Add(i, t, q[i].b), Add(i + n, i, q[i].p);
		b[++len] = q[i].a, b[++len] = q[i].l, b[++len] = q[i].r;
	}
	sort(b + 1, b + len + 1), len = unique(b + 1, b + len + 1) - b - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		q[i].a = lower_bound(b + 1, b + len + 1, q[i].a) - b,
		q[i].l = lower_bound(b + 1, b + len + 1, q[i].l) - b,
		q[i].r = lower_bound(b + 1, b + len + 1, q[i].r) - b;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		query(rt[i - 1], 1, len, q[i].l, q[i].r, i + n);
		rt[i] = ins(rt[i - 1], 1, len, q[i].a, i);
	}
	cout << ans - dinic(s, t) << "\n";
	return 0;
}