LOJ 2318 「NOIP2017」宝藏

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本文深入探讨了状压动态规划（DP）的原理及应用，通过具体实例讲解如何利用状压DP解决复杂问题，特别是在状态空间较大时的优化策略。文章详细分析了状压DP的时间复杂度，并提供了一段C++代码示例，展示了如何实现状压DP求解最小代价问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解法

为什么我的状压dp那么丑啊……

发现 $n \leq 12$ ，所以不妨考虑状压dp
设 $f [d] [S] [r t]$ 表示当前深度为 $d$ ，在根为 $r t$ 的子树中有 $S$ 集合内的点的最小代价
考虑先枚举 $r t$ 的一个儿子是什么，假设为 $x$ ，然后枚举集合 $S'\subset S$ 作为 $x$ 的子树部分，其它剩下的部分继续作为除 $x$ 以外的子树部分
可以发现这个dp很好转移： $f [d] [S] [r t] = m i n (d \times v [r t] [x] + f [d + 1] [S^{'}] [x] + f [d] [S - S^{'}] [r t])$
时间复杂度： $O(3^nn^3)$
为什么是这个复杂度呢？因为枚举子集的整体复杂度为 $O(3^n)$ ，这个可以使用二项式定理来证明。关于 $n$ 的状态为 $O(n^2)$ ，转移的复杂度为 $O (n)$ ，所以总复杂度为 $O(3^nn^3)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 1ll << 40
#define ll long long
#define N 13
using namespace std;
ll lg[1 << N], a[N][N], f[N][1 << N][N];
int lowbit(int x) {return x & -x;}
ll dp(int d, int S, int rt) {
    if (!S) return 0;
    if (f[d][S][rt]) return f[d][S][rt];
    ll ret = inf;
    for (int tx = S, ty = lowbit(S); tx; tx -= ty, ty = lowbit(tx)) {
        int x = lg[ty], y = S ^ ty; ll tmp = a[rt][x] * d;
        for (int s = y; s; s = (s - 1) & y)
            ret = min(ret, tmp + dp(d + 1, s, x) + dp(d, y ^ s, rt));
        ret = min(ret, tmp + dp(d, y, rt));
    }
    return f[d][S][rt] = ret;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n, m; cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i < (1 << n); i++) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            a[i][j] = inf;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y; ll v; cin >> x >> y >> v;
        x--, y--; ll tx = min(a[x][y], v);
        a[x][y] = a[y][x] = tx;
    }
    ll ans = inf, mask = (1 << n) - 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        ans = min(ans, dp(1, mask ^ (1 << i), i));
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}