bzoj 4197 [Noi2015]寿司晚宴 状压dp

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解法

思路是真的神仙

• 考虑当$n$比较小的时候怎么做，因为质因子的个数不多，所以将是否取质因子的状态压成一个二进制数然后转移即可
• 然后发现$n\le 500$，质因子个数还是比较多的
• 那么我们对于每一个数都分开考虑，可以发现最多只会有一个质因子$>\sqrt{n}$
• 计算一下$\sqrt{n}$在$22$左右，在这个范围内的质数很少，只有8个
• 那么我们可以将这些质因子的取值状态压成一个二进制数，设$f[i][j]$表示第一个人选择了质因子集合$i$，第二个人选择了质因子集合$j$的方案数
• 然后做法可以说就比较显然了：对于每一个数先求出大于$\sqrt{n}$的质因子，然后按照这个排序，将大于$\sqrt{n}$的质因子相同的放入一组。对于同一组里的数，我们可以进行这样一个dp：设$f1[i][j]$表示这个因子给第一个人，$f2[i][j]$表示这个因子给第二个人的方案数。转移十分显然，这里就不必再赘述了
• 考虑将同一组里的全部求解完毕之后怎么把答案合并到$f[i][j]$上，因为在计算的时候会重复计算两个人都不选择这个质因子的情况，所以$f[i][j]=f1[i][j]+f2[i][j]-f[i][j]$
• 因为这里开的是类似于滚动数组的东西，所以在求解$f1,f2$的时候下标应该倒着枚举，类似于0/1背包
• 时间复杂度：$O(n{2}^{16})$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 550
using namespace std;
template <typename node> void chkmax(node &x, node y) {x = max(x, y);}
template <typename node> void chkmin(node &x, node y) {x = min(x, y);}
template <typename node> void read(node &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
int prime[9] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
int f1[N][N], f2[N][N], ans[N][N];
struct Info {
	int s, key;
	bool operator < (const Info &a) const {return key < a.key;}
	void divide(int x) {
		for (int i = 1; i <= 8; i++) {
			if (x % prime[i] != 0) continue;
			s |= 1 << i - 1;
			while (x % prime[i] == 0) x /= prime[i];
		}
		key = x;
	}
} a[N];
int main() {
	int n, Mod; read(n), read(Mod);
	for (int i = 2; i <= n; i++) a[i].divide(i);
	sort(a + 2, a + n + 1); ans[0][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (a[i].key == 1 || a[i].key != a[i - 1].key || i == 2)
			memcpy(f1, ans, sizeof(f1)), memcpy(f2, ans, sizeof(f2));
		for (int j = 255; ~j; j--)
			for (int k = 255; ~k; k--) {
				if ((j & k) > 0) continue;
				if ((k & a[i].s) == 0) f1[j | a[i].s][k] = (f1[j | a[i].s][k] + f1[j][k]) % Mod;
				if ((j & a[i].s) == 0) f2[j][k | a[i].s] = (f2[j][k | a[i].s] + f2[j][k]) % Mod;
			}
		if (i == n || a[i].key == 1 || a[i].key != a[i + 1].key)
			for (int j = 0; j <= 255; j++)
				for (int k = 0; k <= 255; k++) {
					if ((j & k) > 0) continue;
					ans[j][k] = ((f1[j][k] + f2[j][k]) % Mod - ans[j][k] + Mod) % Mod;
				}
	}
	int ret = 0;
	for (int i = 0; i <= 255; i++)
		for (int j = 0; j <= 255; j++)
			if ((i & j) == 0) ret = (ret + ans[i][j]) % Mod;
	cout << ret << "\n";
	return 0;
}