bzoj 2118 墨墨的等式 dijkstra+数学

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解法

数学题竟然变成了图论题……

• 将问题转化一下，变成我们需要求$a_1x_1+a_2x_2+…a_nx_n=m$是否存在非负整数解
• 考虑这样一个思路，假设$dis_i$表示上述式子对$a_1$取模的结果为$i$，满足这样一个条件的数的最小值
• 那么，我们就可以对$[0,a_1)$这些数全部当成一个点，然后如果满足$i+a_j\equiv k\ (mod\ a_1)$，那么连接$(i,k)$，边权为$a_j$
• 这样建边后，用dijkstra算法跑最短路，那么我们就可以求得模$a_1$为任意数的最小值了
• 然后判断$m$是否可以存在非负整数解，我们只要看$m$模$a_1$对应的余数，然后看$dis_i$是否不大于$m$即可
• 那么，对于一段区间，我们都可以求出模$a_1$余$i$的解数
• 时间复杂度：$O(a_1\log a_1)$

【后话】

• 和这道题类似地，也可以出这样一个问题：给定$a_1,a_2…a_n$，问最大的不能被$a_1x_1+a_2x_2+…a_nx_n$表示的非负整数是多少。其中$x_1,x_2,…x_n$必须均为非负整数
• 和这道题一样，可以建出$a_1$个点，求出$dis_i$之后满足模$a_1$余$i$且不能被表示的最大数即为$dis_i-a_1$，对这个东西取max即可
• 这个应该是NOIP2017小凯的疑惑这道题的加强版吧

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PI pair <LL, int>
#define mp make_pair
#define N 500010
using namespace std;
template <typename node> void chkmax(node &x, node y) {x = max(x, y);}
template <typename node> void chkmin(node &x, node y) {x = min(x, y);}
template <typename node> void read(node &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
struct Edge {
    int next, num, v;
} e[N * 24];
int cnt, a[N], used[N];
LL dis[N];
void add(int x, int y, int v) {
    e[++cnt] = (Edge) {e[x].next, y, v};
    e[x].next = cnt;
}
void dijkstra(int s, int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = 1ll << 50;
    priority_queue <PI, vector <PI>, greater <PI> > h;
    dis[s] = 0, h.push(mp(0, s));
    while (!h.empty()) {
        PI tmp = h.top(); h.pop();
        int x = tmp.second;
        if (used[x]) continue; used[x] = 1;
        for (int p = e[x].next; p; p = e[p].next) {
            int k = e[p].num, v = e[p].v;
            if (dis[k] > dis[x] + v)
                dis[k] = dis[x] + v, h.push(mp(dis[k], k));
        }
    }
}
LL calc(LL x, int y, int z) {
    LL ret = x / y;
    if (x % y >= z && x) ret++;
    return ret;
}
int main() {
    int n, mn = INT_MAX, mni; LL l, r;
    read(n), read(l), read(r);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        read(a[i]);
        if (mn > a[i]) mn = a[i], mni = i;
    }
    cnt = mn;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i == mni) continue;
        for (int j = 0; j < mn; j++)
            add(j, (j + a[i]) % mn, a[i]);
    }
    dijkstra(0, mn - 1); LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < mn; i++) {
        LL tl = max(dis[i], l), tr = r;
        if (tl > tr) continue;
        ans += calc(tr, mn, i) - calc(tl - 1, mn, i);
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}