24、Ruby 数据结构与算法：2 - 3 树和集合

Ruby 数据结构与算法：2 - 3 树和集合

2 - 3 树

2 - 3 树是一种完全平衡的搜索树，它能保证插入、删除和搜索操作的时间复杂度不超过 O(lg n)。

2 - 3 树的节点结构

• 2 - 节点 ：包含一个值和两个子树。
• 3 - 节点 ：包含两个值和三个子树。

在 2 - 3 树中，节点中的值大于其左子树中的任何值，且小于其右子树中的任何值，这使得 2 - 3 树成为搜索树。同时，所有 2 - 3 树都是完全平衡的，即从叶子节点到根节点的任何路径长度都相同，这个长度就是树的高度。

2 - 3 树的删除操作

删除操作需要从根节点开始搜索到树的底部，这个过程需要 O(lg n) 的时间。如果需要对树进行转换以处理 1 - 节点（即只有一个子树的节点），则对于从删除节点到根节点路径上的最多 h 个节点（h 为树的高度），每个节点的操作次数是常数。因此，这些修改操作最多需要 O(lg n) 的时间。所以，2 - 3 树的删除操作和搜索、插入操作一样，时间复杂度为 O(lg n)。

例如，当删除一个节点时，如果该 1 - 节点（删除发生的叶子节点）有一个 2 - 节点兄弟节点和一个 2 - 节点父节点，它必须从父节点借用一个值，并与兄弟节点合并成一个 3 - 节点，此时父节点变为 1 - 节点。如果这个 1 - 节点父节点有一个 3 - 节点兄弟节点，它可以从兄弟节点借用一个值。

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