18、深入探索树、堆与二叉树数据结构

深入探索树、堆与二叉树数据结构

1. 树、堆与堆排序概述

树是一种特殊的图，在计算机领域有着重要的地位。树的一个重要应用是排序。我们可以把数组当作完全二叉树，然后将其转换为堆。通过对堆进行操作，能在 $O(n \lg n)$ 的时间复杂度内对数组进行原地排序，这种算法被称为堆排序。当空间有限且需要较好的最坏情况复杂度时，堆排序是一个不错的选择。

2. 复习问题与解答

以下是一些关于树和堆的复习问题及对应解答：
| 问题 | 解答 |
| — | — |
| 在图 1 中，顶点 r 的后代有哪些？祖先有哪些？ | 顶点 r 的后代是树中的所有顶点，除了它自身外，r 没有其他祖先。 |
| 如何从图中判断一棵树是否有序？ | 仅从图中无法判断树是否有序，必须有其他符号来表明这一点。 |
| 每个满二叉树都是完全二叉树吗？每个完全二叉树都是满二叉树吗？ | 并非每个满二叉树都是完全二叉树，因为树的所有叶子节点可能分布在两层，使其成为满二叉树，但底层缺失的一些叶子节点可能不在右侧，这意味着它不是完全二叉树。然而，每个完全二叉树一定是满二叉树。 |
| 堆中最大的值在哪里？ | 堆中最大的值总是在根节点。 |
| 使用堆数据结构编号方案，顶点 27 的左子节点和右子节点分别是哪个顶点？顶点 27 的父节点是哪个顶点？ | 顶点 27 的左子节点是顶点 $(2 27)+1 = 55$，右子节点是顶点 $(2 27)+2 = 56$，父节点是顶点 $\lfloor(27 - 1)/2\rfloor = 13$。 |
| 堆排序的最坏情况表现如何？ | 堆排序的最坏、最好和平均情况复杂度都是