13、数据结构中的树、堆与二叉树详解

数据结构中的树、堆与二叉树详解

1. 堆的概念与特性

堆是一种特殊的完全二叉树，其每个顶点都满足堆序性质，即顶点存储的值大于或等于其所有后代节点存储的值。将任意完全二叉树转换为堆可以按以下步骤进行：
- 所有叶子节点本身就具有堆序性质，所以以叶子节点为根的子树都是堆。
- 从倒数第二层最右侧的内部顶点开始，向左逐层向上处理。若顶点不满足堆序性质，则将其值与最大子节点的值交换，然后对修改后的顶点重复此操作，直到以该顶点为根的子树成为堆。

由于堆是完全二叉树，因此可以高效地存储在连续的内存位置中。通过为完全二叉树的顶点编号（从左到右、从上到下），可以建立顶点编号与数组索引的对应关系，从而用数组表示完全二叉树。具体规则如下：
- 顶点 k 的左子节点是顶点 2k + 1。
- 顶点 k 的右子节点是顶点 2k + 2。
- 顶点 k 的父节点是顶点 floor((k - 1) / 2)。
- 若树中有 n 个顶点，则最后一个有子节点的顶点是顶点 floor(n / 2) - 1。

2. 堆排序算法

堆排序是一种基于堆的高效排序算法，其步骤如下：
1. 将待排序数组视为存储在数组中的完全二叉树，并将其转换为堆。
2. 堆中的最大值位于根节点（数组位置 0），将其与数组末尾的值交换，并将数组视为缩短一个元素。然后将新的根节点值向下筛选，直到树再次成为堆。
3. 重复步骤 2，直到整个数组排序完成。

以下是用 Ruby 实现的堆排序代码：

def heapify(array, i,