23、矩阵代数基础及 MATLAB 实现

矩阵代数基础及 MATLAB 实现

1. 数组与矩阵的概念

在工程领域，数组（array）和矩阵（matrix）这两个术语经常被互换使用，但实际上它们有所不同。数组是信息的有序分组，它可以包含数字信息、字符数据、符号数据等；而矩阵是用于线性代数的二维数字数组。也就是说，并非所有数组都是矩阵，只有那些用于线性变换的数组才符合矩阵的严格定义。

矩阵代数在工程应用中有着广泛的应用，其数学知识最早在大学代数课程中引入，并在线性代数和微分方程课程中得到进一步拓展。学生通常在静力学和动力学课程中开始经常使用矩阵代数。

2. 矩阵运算与函数

在矩阵代数中，有多种重要的运算和函数，下面将详细介绍。

2.1 转置（Transpose）

转置操作是将矩阵的行变为列，列变为行。在数学教材中，转置通常用上标 T 表示（如 $A^T$），但在 MATLAB 中，转置运算符是单引号（’），即矩阵 $a$ 的转置表示为 $a’$。

例如，有矩阵 $A$ 及其转置 $A^T$：
$A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
5 & 6 & 7 & 8 \
9 & 10 & 11 & 12
\end{bmatrix}$
$A^T =
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 9 \
2 & 6 & 10 \
3 & 7 & 11 \
4 & 8 &a