71、时变系统的有界性、稳定性及输尿管肾介入机器人设计

时变系统的有界性、稳定性及输尿管肾介入机器人设计

时变系统的有界性与稳定性

在研究时变系统时，有界性和稳定性是非常重要的概念。下面我们来详细介绍相关定义、定理及示例。

系统的定义

系统有以下几种状态定义：
1. 有界性 ：对于任意初始值 (x_0)，存在一个正标量 (\delta = \delta(x_0))，使得对于所有 (t \in T)，都有 (|x(t)| \leq \delta)。
2. Lyapunov稳定性 ：对于任意的 (\varepsilon > 0)，存在 (\delta(\varepsilon, t_0))，使得当 (|x(0)| < \delta) 时，对于所有 (t \in T)，都有 (|x(t)| < \varepsilon)。
3. 渐近稳定性 ：系统是Lyapunov稳定的，并且存在一个常数 (c = c(x_0) > 0)，使得对于所有 (|x_0| < c)，当 (t \to \infty) 时，(x(t) \to 0)。

时变系统的有界性和稳定性条件

考虑系统，给定 (x_0 \neq 0)。假设存在一个右稠连续可微函数 (V : R^+ T \times R^n \to R^+)，且对于所有 (t \in R^+_T)，(V(t, 0) = 0)；一个K类函数 (\alpha)；以及一个回归函数 (g : R^+ \to R)，满足：
1. (\alpha(|x(t)|) \leq V(t, x))；