36、归一化割聚类问题与中立型单神经元系统的研究

归一化割聚类问题与中立型单神经元系统的研究

1. 归一化割聚类问题的解决方案

1.1 问题描述

归一化割聚类（NCC）问题的目标是求解以下优化问题：
[
\begin{align }
&\max_{b(c)} \sum_{c = 1}^{C} b(c)^{\top}W b(c)\
&\text{s.t. } b(c) > 0, 0 < b(c)^{\top}1_N < N - C, c \in [C]\
&\sum_{c = 1}^{C} b(c)^{\top}Db(c) = |W| {L1}\
&\sum {c = 1}^{C} b(c)^{\top}b(c) = N_1 + \cdots + N_c = N
\end{align }
]

1.2 简化方法

为了解决上述问题，可将二次约束纳入泛函中进行松弛，得到新的泛函：
[
f(b(c)|\lambda, \mu) = \sum_{c = 1}^{C} \left( b(c)^{\top}W b(c) + \lambda b(c)^{\top}Db(c) + \mu b(c)^{\top}b(c) \right) - \lambda |W| {L1} - \mu N
]
其中，(\mu)和(\lambda)是用于正则化的额外参数。引入矩阵(P {\lambda, \mu} = W + \lambda D + \mu I_N)，泛函可简化为：
[
f