ATHOME：智能家居无线充电优化

ATHOME：智能家居的自动可调无线充电∗

1 引言

物联网（IoT）是所有计算领域中发展最快的技术之一。保守估计预测到2019年，连接到物联网网络的智能设备数量将近400亿台，相当于全球每位活跃用户拥有约30台设备。物联网的成熟推动了“智能家居”的实现，所有家用电器和智能设备都将被集成，通过互联其智能性，构建出无需持续人为干预的环境。一个广泛应用的例子是，安防系统中使用的运动传感器与家庭的照明与供暖控制系统相集成，当家中无人时自动关闭灯光和供暖。

实现智能家居愿景的一个巨大挑战是如何在无需人工干预的情况下持续为大量低功耗设备（例如声音与运动传感器）供电[7, 8]。由于成本、尺寸和便利性原因，这些设备大多将采用电池供电。然而，电池会增加额外的体积、重量和成本，并且需要充电或更换，这涉及维护成本，在大规模应用中不可行 [29]。由于智能设备的数量和安装位置众多，使用有线充电显然不是一个可行的选择。为了解决这一关键的充电问题，近年来兴起的无线充电技术[16]成为一种有前景的解决方案。基于革命性的无线充电技术，已推出多种研究平台和商业产品，例如无线识别与传感平台（WISP）[32], Moo[2], Powercast[6]。甚至最近已经开发出产品级的无线充电系统，可以从最远30英尺的距离外同时为多个小型嵌入式设备（从烟雾探测器到摄像头）进行无线充电[5]。

一个基础研究挑战

为了实现高效的无线充电，一个基础研究挑战是确定通常固定安装在不同物理位置的无线充电器的最小充电功率，以提供足够的能量，使所有智能物联网设备能够持续工作。然而，大多数现有解决方案假设设备要么不携带任何能量存储，要么携带无限容量的能量存储[10][13][36]。这一假设使问题显著简化，但在实际中却并不成立。如今大多数传感器或嵌入式设备都配备有有限容量的电容器或可充电电池作为能量存储。例如，WIPS [14]将其采集的能量存储在一个 100uF的电容器上，而Moo的电容器为10uF[33]。拥有能量存储是有效的，因为无线充电器提供的未使用功率可以被储存起来供以后使用。

为了弄清楚为何具有有限容量能量存储的设备可能给充电问题带来巨大挑战，我们使用WISP 4.1 DL标签和标准商用 RFID读写器进行了实验。我们的测量揭示了在此设定下的一个基本挑战：当充电功率超过设备所需的充电功率时，可能发生能量溢出问题。当设备的能量存储达到满状态时，任何多余的能量都将溢出并被浪费。在特定充电功率下，精确计算溢出能量的量非常困难，特别是当设备的工作功率曲线随时间以复杂方式变化时。这进一步导致难以判断给定的充电功率是否足以持续为设备供电。另一方面，假设能量存储具有无限容量，则不会出现能量溢出问题，从而使该问题变得相对简单（实验数据和更多细节见第2.2节）。此外，由于多个充电器可以同时为范围内的设备充电，一个关键问题是如何自动调节每个充电器的充电功率，使得所有设备都能获得足够的能量以持续工作，同时最小化总充电功率。该问题并不简单，因为不同设备表现出不同的工作功耗特性。解决这些研究挑战是本文的重点。

我们提出ATHOME，一种面向当前和未来智能家居中智能嵌入式设备的自动可调谐无线充电框架。ATHOME能够自动调节多个固定式无线充电器的充电功率，为具有不同工作功耗特性的智能嵌入式设备提供充足的能量以持续供电，同时最小化总充电功率以降低能量成本。为实现这一目标，ATHOME首先解决了一个因能量溢出而产生的关键开放性问题：如何推导出为具有有限容量能量存储且具备变化工作功率曲线的设备持续供电所需的最优充电功率。本文提出了一种新颖的解析几何方法，能够精确刻画在特定充电功率下设备接收到的实际能量以及溢出能量。此外，提出了一系列新技术用于验证给定的充电功率是否足以使设备持续工作，并进一步判断该功率是否为所有可行充电功率中的最小充电功率（第3节）。然后，基于每个设备所需的最小充电功率以及所有充电器与设备的位置信息，ATHOME提供了一个具有多项式时间复杂度的最优解，通过调节所有充电器的充电功率，使得所有设备均可被持续供电，同时使充电器提供的总充电功率最小化。ATHOME能够在设备动态加入/离开事件发生时，实时自动调节各充电器的充电功率。

我们在WISP平台上实现了ATHOME框架，并在8个可充电节点上进行了多种设置下的大量实验来评估ATHOME。实验结果表明，ATHOME能够正确且高效地为所有设备提供足够的能量，使其持续工作。在ATHOME下，充电器提供的能量量也与运行时测量的实际消耗能量非常接近。此外，为了评估ATHOME在实际拥有大量智能设备和充电器的智能家居中的性能，我们已经执行了大量的仿真。实验结果表明，ATHOME 具有良好的可扩展性，在几乎所有设置下，ATHOME 提供的能量与启动所有设备所需的最小能量之间的差距非常小。

据我们所知，ATHOME是首个可应用于智能家居的解决方案，能够为具有有限能量存储和不同功率配置文件的物联网设备推导出最优充电功率。虽然ATHOME专注于家庭环境，但互联的物联网设备已广泛出现在许多其他领域，包括机场、工厂和森林。例如，在森林环境中，可能随机部署数千个传感器以无人监管的方式测量照度[18]。使用无线充电器高效地为如此大量的传感器充电可能是供能的唯一可行方案。我们认为，ATHOME的设计也可普遍适用于其他领域中互联智能设备充电功率的自动调谐。

2 动机与挑战

本节通过描述在能量存储有限的设备上确定最优充电功率的关键挑战，来说明ATHOME的动机。由于充电器提供的充电功率在实际中可能会波动，我们首先描述了一组用于表征这种波动的测量方法以及我们应对此问题的方法。

2.1 充电功率波动

影响智能家居能源供应的一个关键因素是无线充电模型。在本节中，我们描述了一个被广泛研究的无线充电模型[13]。我们还根据问题背景对该模型进行了相应调整，以更准确地表示充电行为，这一点已通过我们进行的实验得到验证。

根据文献[13]中提供的无线可充电传感器网络（WRSNs）无线充电经验模型，距离源功率p0为d米处的射频信号接收功率pr可表示为

$$ pr= GsGrη Lp \left(\frac{\lambda}{4\pi(d+ \beta)}\right)^2 p0, $$

其中，Gs为源天线增益，Gr为接收天线增益， η为波长，Lp为极化损耗， λ为整流效率， β为用于调整短距离传输下弗里斯自由空间方程的参数。注意，该无线充电模型对于多个并发充电器具有可加性，已在室内环境中得到验证[13]。在任何特定充电功率下，由于噪声影响，实际运行时的充电功率可能会发生波动。为了应对这种波动，该模型采用曲线拟合来近似充电功率曲线。然而，在某些情况下，实际充电功率值可能小于通过该曲线拟合方法获得的值。在本问题背景下，为了确保有足够的充电功率持续为设备供电，我们构建了一条下界曲线，使用安全下限功率来逼近实际功率曲线。

我们在室内进行实验，以测量由不稳定实验环境引起的充电功率波动。实验中使用了如图1所示的WISP4.1DL标签。读写器为标准商用RFID读写器Impinj Octane3 Speedway，配备圆极化天线，其发射增益为Gs= 8 dBi。读写器的发射频率范围为920‐925 MHz，因此平均波长约为0.33米。WISP标签采用线极化偶极子天线，根据[31]，其接收增益为Gr= 2 dBi。为减小方向效应，我们将读写器天线与标签天线保持平行。在所有实验中，标签被编程处于静态，以最大化电容器（电容为C= 100μF）中存储的接收能量。我们记录电容器的初始电压Vi和最终电压Vf，以及无线充电持续时间 ∆t。无线充电功率可通过公式 $ C/(2∆t)(v_f^2 − v_i^2) $ [31]计算得出。读写器与标签天线之间的距离为0.5米，充电实验共进行了60次。

充电功率的实验结果如图2a中“实验”所示。我们可以看到，在0.5m距离处的平均充电功率约为0.8毫瓦，如图2a中 “拟合”所示。我们还在图2a中绘制了充电功率的下界（ 0.77毫瓦），如“下界”所示。从图2a可以看出，曲线拟合结果与测量得到的功率值非常接近，且充电功率曲线的下界仅比拟合结果小3.75%。为了进一步验证该方法，我们进行了实验，以构建当设备与充电器之间距离变化时的充电功率下界曲线。当天线间距从0.3米到1.5米以0.1米增量变化时，平均充电功率如图2b所示。从图中可以看出，可以得出相同的结论。因此，本文使用功率下界拟合曲线来安全地表示实际充电功率。

通过采用该充电模型，我们可以计算出在充电器提供特定充电功率的情况下，距离充电器一定距离的设备所接收到的实际充电功率。当标签远离读写器时，标签天线接收到的读写器射频信号功率可忽略不计，难以被整流为有用电能。我们将这种可忽略功率的阈值记为ppath，对应的读写器距离记为r。当 d> r时，我们假设pr= 0。因此，对于位于(0,0)且供给充电功率为p0的充电器，位于点(x,y)的设备所接收到的充电功率由以下公式给出

$$ pr(x, y)=\begin{cases} \frac{\alpha}{(d+\beta)^2} & \text{if } d \leq r \ 0 & \text{if } d > r \end{cases} $$

where $ \alpha= GsGrη Lp( \frac{\lambda}{4\pi})^2p0 $.

2.2 关键挑战：由于有限能量存储导致的能量溢出

智能家居中无线充电的目标是为所有智能设备提供最低但足够的充电功率，使其能够持续工作。如第2.1节所述，公式2推导出了嵌入式设备可接收的充电功率。在本节中，我们通过一系列激励性案例研究，说明在给定设备工作功率曲线的情况下，确定设备持续工作所需的最小充电功率所面临的关键挑战。

我们再次使用集成了两种经典传感器的WISP 4.1DL平台：加速度计和温度传感器。图3a显示了一个WISP在两分钟间隔内测得的工作功率曲线样本：在第一分钟期间，加速度计消耗 0.416 mJ/s能量，而在第二分钟期间，温度传感器消耗0.716 mJ/s能量。

我们进行了三组实验，使用了三种不同的能量缓冲区设置： （i）无能量缓冲器，（ii）大小为 100 mJ 的足够大的能量缓冲区， 以及（iii）大小为 5.215 mJ 的能量缓冲区（即原始 WISP 设置）。我们的目标是找到能够使 WISP 节点持续工作的最低且足够的充电功率。在本文其余部分中，我们使用设备的“最优充电功率”这一术语，记为 Popt，表示该设备的最低且足够的充电功率。

无能量缓冲器的WISP。 当设备没有能量缓冲区时，确定最优充电功率非常简单。给定设备的工作功率曲线，充电功率在任何时刻都必须至少等于设备的所需工作功率。我们已通过使用WISP的实验验证了这一结论。根据图3a所示的WISP工作功率曲线，我们将充电器设置为在两分钟间隔内提供0.716 mJ/s的充电功率。在这种情况下，WISP节点确实能够持续工作。然而，如图3b所示，总共浪费了18 mJ的能量，因为 WISP在第一分钟内的工作功率仅为0.416 mJ/s。

具有足够大能量缓冲器的WISP。 在本例中，我们假设设备携带的能量缓冲区足够大，能够存储本次实验中WISP接收到的所有冗余能量。为了进行此实验，我们在WISP节点上配置了一个100mJ的能量缓冲器，足以存储两分钟充电期间的所有冗余能量。如图3c所示，在两分钟的实验过程中，WISP节点仅需要67.92mJ的能量。因此，如果能量缓冲器足够大，充电器只需提供67.92 mJ/ 120 s= 0.566 mJ/s的充电功率即可。实验验证了这一结论：当提供的充电功率为0.566 mJ/s时， WISP节点可以持续工作。注意到在大约120秒时刻，供应能量曲线与所需能量曲线实际相交。这意味着在120秒时刻， WISP节点恰好消耗完其在[61s至120s]期间接收到的全部能量。这也表明在此情况下，0.566 mJ/s的充电功率是最优充电功率，即任何低于0.566 mJ/s的充电功率都可能导致WISP节点在 120秒之前的某个时间点失效。

能量缓冲区大小为5.215 mJ的WISP。 在第三次实验中，我们让充电器再次以0.566 mJ/s的充电功率为携带5.215 mJ能量缓冲区（即原始WISP能量缓冲区设置）的WISP节点供电。在此实验中，如图3d所示，WISP节点大约在时间95s时停止工作。主要原因是由于能量缓冲区容量有限，WISP接收到的多余能量无法全部存储在缓冲区中，从而导致能量溢出。具体而言，在[0, 60s],期间，加速度计需要0.416 mJ/s的工作功率，因此可以正常工作。然而，与上述第二次实验不同的是，在 [0, 60s],内仅有5.215 mJ的多余能量可被存储在缓冲区中，导致了3.785 mJ的能量溢出。图3d很好地说明了这种情况，其中 “接收能量”曲线表示WISP实际接收到的能量量（即不包括任何溢出能量）。从图中可以看出，大约在时间95s时，接收能量曲线与所需能量曲线相交。从此图中还可观察到，溢出能量的量由供应能量曲线与接收能量曲线之间的间隙区域表示。

确定设备最优充电功率的一个关键挑战。 如上述三个实验所示，当设备无能量缓冲器或具有足够大的能量缓冲器时，寻找最优充电功率的问题相对容易。然而，当设备携带的是容量有限的能量缓冲区（这在实际中是常见情况）时，由于存在能量溢出问题，计算最优充电功率变得困难。给定一个工作功率曲线和充电功率，精确计算溢出能量的具体数量非常具有挑战性。特别是当给定的功率曲线较为复杂（例如非线性）时，该问题变得更加困难，可能难以计算出溢出能量的确切数值。

问题描述。 我们考虑一个包含一组S= s1, s2, s3, …,sn共n个静态智能设备和m个静态充电器的智能家居。每个设备si均具有容量为Bi的能量存储。由于执行感知、通信和计算等不同操作，每个设备的工作功率可能随时间变化。我们假设每个设备的工作功率曲线可以通过（例如，通过性能分析）获得，因为大多数设备具有一组固定的功能和预定义的操作计划。1 (对于

1请注意，ATHOME也可应用于事件驱动的设备操作场景，在该场景中，智能设备可能因多个事件触发而执行不同的功能。每当触发某项功能时，ATHOME会获取该功能对应的工作功率曲线（即从开始到结束执行该功能所需的功率），并相应地调节充电功率。因此，在事件驱动场景下，每当发生新事件导致设备的功率曲线发生变化时，ATHOME将自动调整每个充电器提供的充电功率。此类事件驱动场景可以是

例如，一个智能窗帘被设定为每天上午8点自动打开，每天下午6点自动关闭。不失一般性，设Pi(t)表示设备si根据其工作模式在时间t上的所需功率。相应地，Pi(t)的积分定义了设备 si的所需能量Ei(t)，即设备在[0, t]内正常工作所需的能量总量。目标是在保证所有设备获得足够能量以持续工作的前提下，最小化所有充电器的总充电功率。

ATHOME的设计概述。 为了解决这一问题，我们提出了 ATHOME，它是一个包含充电演算阶段（第3节）和充电功率调节阶段（第4节）的两阶段框架。在充电演算阶段， ATHOME会根据每个设备的工作功率曲线和储能容量，明确识别其所需的最优充电功率；而在充电功率调节阶段， ATHOME尝试调节每个充电器的充电功率，使得所有智能设备都能获得足够的能量以持续工作，同时使总充电功率最小化。

3 阶段一：充电计算

在本节中，我们建立了一种充电微积分理论，用于根据设备的工作功率曲线和储能容量，通过两个步骤计算Popt。首先，我们提出一组新颖的方法，用于验证（i）给定的充电功率是否足以支持设备持续工作，以及（ii）如果足够，则该充电功率是否为Popt（即所有足够充电功率中的最小值）。其次，我们首先确定一个安全充电功率范围，其下界为Pmin，上界为 Pmax，然后通过在[Pmin,Pmax]范围内进行二分查找算法来确定Popt。

接下来，我们首先介绍一些必要的概念和定义，然后提出在三种能量存储设置下的三种场景中寻找Popt的方法。

在第2.2节中，我们通过一个案例研究说明了提供功率与所需功率及能量的概念，以及它们在图中的几何表示（即相应的功率和能量曲线）。现在我们正式定义这些概念及其对应的符号。从几何角度来看，Ei(t) 上某一点的斜率代表该时刻对应的需求功率 Pi(t)。例如，在图4a中，Pi(t) 在 tmax 处达到最大值，此时 Ei(t) 在 tmax 处也具有最大的斜率。充电器提供的充电功率可表示为一条直线。例如，在图4a中，为 si 提供的充电功率记为 Pc，用一条直线表示。相应地，在图4b中，提供的能量记为 Ec(t)，表示为一条斜率为 Pc 的直线。

3.1 无能量存储情况下寻找Popt

在没有能量存储的情况下，为了给si提供足够的能量以持续工作，充电功率在任何时刻都应至少达到si所需的最大功率。因此，对于没有能量存储的si，其最优充电功率为Popt= Pmaxc = maxt ∈TPi(t)，如图4a所示。

3.2 在充足存储下寻找Popt

在这种情况下，如果有足够的能量存储，我们知道设备可以接收任意数量的提供能量（因为多余的能量可以存储在存储器中）。因此，只需找到一个充电功率，使得在任何时间点提供的能量至少达到所需能量Ei(t)。

从几何上讲，由该充电功率产生的供应能量曲线必须在任何时间点都位于所需能量曲线上方或与之相切。在所有此类充电功率值中，Popt 是使供应能量曲线与所需能量曲线相切的最小值，如图4a和图4b所示，其中 Pminc 表示 Popt， Eminc 表示在 Pminc 下对应的供应能量。这是因为只有当供应能量曲线与所需能量曲线相切时，供应能量曲线的斜率达到最小，意味着能够支持设备持续工作的最小充电功率 Popt。

求一条给定曲线的切线是一个经典的解析几何问题。因此，我们可以应用 [28] 中介绍的现有方法来求 Pminc。在获得 Eminc(t) 后，我们知道如果能量存储 Bi 的容量大于 maxt ∈ T {Eminc(t) −Ei(t)}，则 Bi 足够大，可以在任意时刻为 si 存储多余的供应能量。令 Bmax 表示 maxt ∈T {Eminc(t) − Ei(t)}。因此，当能量存储至少为 Bmax 时，最优充电功率可计算为 Popt=Pmcin .

3.3 在能量存储受限的情况下寻找Popt

在这种情况下，当Bi < Bmax时，Pminc可能不足够。我们首先通过一个示例来说明这一观点。图5a显示，从0到时间点 t2，充电功率Pminc大于所需功率Pi(t)，阴影区域Est表示此期间存储的能量。由于Bi < Bmax，可知在某一时刻时间点 t1，能量存储必定会充满，这意味着Bi = Est。在[时间点t1, t2],期间，充电功率仍大于所需功率。因此，在[时间点t1, t2] 期间，提供的能量开始溢出。区域Eof表示溢出能量的量。在[ 时间点t2, t 3],期间，充电功率Pminc变得小于所需

功率 Pi(t)。阴影区域 Esup表示节点 si为持续工作需从能量存储中消耗的能量量。如果 Est的面积小于 Esup的面积，则 si将在 [t2, t3] 内的某一时刻停止工作。如第3.2节所述，当且仅当 Eof的面积为0时，Pminc对 si才是足够的。然而，如果 Bi< Bmax，则会发生能量溢出，且 Eof的面积必须大于0，这使得 Pminc不可行。

通过上述讨论，我们了解到Pminc作为Popt的下界，而Pmaxc作为上界。据第3.1节的讨论，Pmaxc显然作为任何可行充电功率的安全上界。因此，我们可知Popt ∈[Pminc，Pmaxc]。为了找到Popt的值，一种直观的方法是进行二分查找。对于每一个搜索到的充电功率值，我们现在提出一组方法，用以验证该充电功率是否可行（即能否持续为设备供电）且最优；若不可行或非最优，则应利用更新后的充电功率下界和上界继续搜索过程。

在介绍验证方法之前，我们首先定义并分析“接收能量”这一概念，因为理解与接收能量相关的特性对于理解验证方法至关重要。该概念正式定义如下。

定义 3.1。 在给定充电功率下，si的接收能量，记为 Ecsi(t)，是指 si 实际接收到的能量。由于能量存储有限，部分提供的能量可能会溢出。因此，Ecsi(t) 等于提供能量减去溢出能量：

$$ Ecs i(t)= Ec(t)− E of i(t), $$

其中Ec(t)表示在时间t时提供的能量，Eof i(t)表示在时间t时的溢出能量。在任意时刻t，能量存储中的能量存储量为 max(0, Ecsi(t)−Ei(t))，其中Ei(t)表示在时间t所需的能量。

如图5b所示，绿色曲线ECSi(t)表示在充电功率为Pminc下的接收能量。从图中可以看出，在时间t1处，接收能量曲线低于供应能量曲线Eminc，这是因为在t1时刻开始出现能量溢出。在某个时间点[t2,t 3], si停止工作，此时接收能量曲线ECSi(t)与所需能量曲线Ei(t)相交，并在t1之后低于Ei(t)。

通常，Ecsi(t) 可能经历三个阶段：储能充电阶段、溢出阶段和储能放电阶段（请注意，这些三个阶段在不同场景下可能出现不同的顺序）。

图5a 给出了一个一般性示例，说明了当 Bi< Bmax 且充电功率为 Pminc 时的这三个阶段。

储能充电阶段： 在[0,t1],期间，充电功率大于所需功率，冗余充电能量被存储在能量存储中。Ecs(t)因此可以计算为：

$$ Ecis(t)= Emin (t), t ∈[0, t1]. $$

溢出阶段： 能量存储在t1时刻变满。在[t1, t2],期间，充电功率Pminc大于消耗功率Pi(t)。由于存储已满，冗余充电能量发生溢出。因此，Ecsi(t)可以计算为：

$$ Ecis(t)= Ei(t)+ Bi, t ∈[t1, t2]. $$

储能放电阶段： 在t2, t3 期间，充电功率Pminc至多等于所需功率Pi(t)。那么在[t2, t3]期间接收的能量等于充电能量。到 t2时刻，si已经接收了Ei(t2) + Bi数量的能量。因此，Ecsi(t)可以计算为：

$$ Ecs i(t)= Ei(t2)+ Bi+ P min c ×(t − t2), t ∈[t2, t3]. $$

通过分析多个阶段及其几何意义上各种功率和能量曲线，我们得出以下三个重要观察结果。

观察1. 此处的一个观察是，如果充电功率无法为嵌入式设备提供足够的能量以使其持续工作，则该设备仅在其储能放电阶段之一期间停止。受此观察启发，在验证充电功率的可行性时，我们只需检查设备在其储能放电阶段的能量状态。

观察2。 此处的另一个观察结果是，设备的放电阶段发生在充电功率刚好小于所需功率时（例如，在图5a中，t2表示这样的转换时间点）。相应地，在能量图上，当接收能量曲线的斜率刚好小于所需能量曲线的斜率时，发生放电阶段（例如， 在图5b中，t2表示这样的转换时间点）。

观察3。 此处的第三个观察是，设备在其储能放电阶段的接收能量曲线必须是直线，且这些直线的斜率必须与供应能量曲线的斜率相同。这是因为在储能放电阶段，所有提供的能量都必须被设备接收并消耗。

在储能充电阶段或储能放电阶段期间，能量显然不会溢出。因此，如果有连续的储能充电和放电阶段，我们可以将其合并为一个非溢出阶段。假设这样的非溢出阶段从ts开始，到te结束，在任意给定的充电功率Pc下，该时间段内的接收能量Ecsi(t)可通过考虑以下两种情况来计算：

• 情况1： 一个非溢出阶段始于充电阶段，此时Ecsi(t) = Ec(t)，t ∈[ts，te]，因为在没有能量溢出的情况下，接收到的能量等于提供的能量。从几何上看，表示Ecsi(t) 的曲线是一条直线，因为Ec(t) 的曲线是一条直线。
• 情况2： 一个非溢出阶段以放电阶段开始，这意味着该放电阶段发生

在溢出阶段之后。在这种情况下，Ecsi(t) =Ei(ts) +Bi + Pc ×(t −ts)，t ∈[ts，te ]，因为si在ts时刻已接收到 Ei(ts) +Bi的能量，并在[ts, t]时间段内接收了Pc ×(t −t s)的能量。从几何上看，此情况下表示Ecsi(t)的曲线也是一条直线，因为Ei(ts)、Bi和Pc均为常数。

另一方面，在溢出阶段 [ts′,te′]，Ecsi(t) 可以计算为：

$$ Ecs i(t)= Ei(t)+ Bi, t ∈[ts′, te′]. $$

从几何上看，溢出阶段中表示Ecsi(t)的曲线与Ei(t)的形状相同，其形状可根据si的工作功率曲线为任意形状（例如曲线或直线）。根据上述公式，具体而言，Ecsi(t)在[ts′, te′]区间内的曲线可通过将对应的Ei(t)在[ts′,te′]区间内的曲线沿y轴方向（正向）移动Bi个单位得到（参见图5b中所示的示例区间[t1,t2]）。

因此，通过考虑上述两种情况（即非溢出阶段和溢出阶段），接收能量Ecsi(t)的曲线由两种类型的曲线组成：一种是与供应能量曲线具有相同斜率的直线段；另一种是将所需能量曲线沿 y轴方向（正向）移动Bi个时间单位后得到的曲线。在图6a中，我们展示了另一个示例，说明当Bi < Bmax且Pc ∈( Pminc , Pmaxc )时，Ecsi(t)可能经历的不同阶段。如图所示，[t0, t1]是以充电阶段开始的非溢出阶段；[t1, t2]和[t4, t5]为溢出阶段；[t2, t4]和[t5, t6]是以放电阶段开始的非溢出阶段。显然，在[t0, t1],[、t2, t4]以及[t5, t6]期间，Ecsi(t)的曲线呈直线形状，且斜率与供给能量曲线的斜率相同；而在[ t1, t2]和[t3, t4]期间，Ecsi(t)的曲线与所需能量曲线的形状相同。具体而言，Ecsi(t)在[t1, t2]和[t3, t4]区间内的曲线是通过将相应区间内的所需能量曲线沿y轴方向（正向）移动Bi个单位而得到的。

基于上述对Ecsi(t) 特性的讨论，我们现在提出一组方法，用于验证给定的Pc对于一个设备是否可行且最优，主要从 Ecsi(t) 和 Ei(t) 曲线的几何角度进行论证。因此，为了避免混淆，令 Ei(t) 表示Ei(t) 的曲线，Ecsi(t) 表示 Ecsi(t) 的曲线，以及 Ec(t) 表示 Ec(t) 的曲线。

验证给定的Pc是否可行且最优。 为了验证给定的充电功率 Pc 是否能够支持si持续工作，只需检查在任意时刻对应的接收能量 Ecsi(t) 是否至少等于所需能量 Ei(t)
时间t。从几何角度来看，只需验证Ecsi(t)是否始终高于或与 Ei(t)相切，即可判断Pc是否可行；否则，Ecsi(t)与Ei(t)相交并在交点之后低于后者，意味着设备在该时间交点之后停止工作。

为了研究在给定功率Pc的情况下Ecsi(t)与Ei(t)之间的几何关系，我们在下一节中推导了三种方法（引理3.4‐3.6），用于验证Ecsi(t)是否位于Ei(t)之上（引理3.4）、Ecsi(t)是否与Ei(t)相切（引理3.5），并证明当Ecsi(t)在任意时间点与 Ei(t)相切时，Pc是最优的（引理3.6）。为了分析Ecsi(t)与 Ei(t)之间的几何关系，最直接的方法是推导出Ecsi(t)的精确数学表达式。然而，正如我们之前讨论的，在溢出阶段， Ecsi(t)会模仿Ei(t)的形状。但如果相应的工作功率曲线无法用数学方式表达，则可能无法对Ei(t)进行数学推导。即使 Ecsi(t)能够被数学表达，验证在每个时间点t是否满足 Ecsi(t) ≥ Ei(t)也极为耗时。

接下来，我们将介绍一组新颖的技术，这些技术通过定义和利用额外的辅助曲线，以有效分析Ecsi(t) 与 Ei(t) 之间的关系。

定义3.2。 设Tb表示储能放电区间（SDI）的集合，该集合对应于储能放电阶段的集合。注意，根据储能放电阶段的定义，充电功率小于所需功率。令Tb={[tb,s1 , tb,e1],[tb,s2 , tb,e 2],…,[tb,s k,tb,e k]} 由 k 个区间组成，其中 k ≥ 1。

例如，在图5a中，充电功率为Pminc，且在[t2到t3],期间，充电功率小于所需功率。因此，在本例中，Tb={[t2, t3]}。

由于直接比较Ecsi(t)与Ei(t)较为困难，我们定义以下称为 “射线”的辅助曲线来辅助比较。

定义3.3。 为了比较Ecsi(t)与Ei(t)，我们定义一个包含k 条射线的辅助射线集R ={R1, R2, … , Rk}，每条射线对应一个SDI。每条射线Rk(1 ≤k ≤q)的起点为(tb,s k, Ei(tb,s k) + Bi)，其中tb,s k在定义3.2中定义。所有射线具有相同的斜率，等于Pc。令Pr表示射线集R中各射线的起点集合。

根据储能放电阶段的定义，一个SDI必须发生在储能充电阶段或储能溢出区间之后。在储能充电阶段或储能溢出阶段期间，充电功率大于所需功率。但在SDI期间，供给充电功率至多等于所需功率。因此，在每个SDI的开始时刻（即tb,s i(1 ≤ i ≤ k))，充电功率必须等于所需功率。我们可以通过两个步骤找到所有的放电阶段起始时刻，即tb,s i(1 ≤ i ≤ k)：（i）找出所有所需能量曲线的斜率等于供应能量曲线斜率的时间点（供应能量曲线为一条直线），以及（ii）去除所有在此之后所需能量曲线的斜率小于或等于供给能量曲线的斜率。其余的时间点将构成集合tb,s i(1 ≤ i ≤ k)。例如，在图6b中，我们找到每条对应于SDI的射线的起始时间点tb,s i，方法如下。第一步，我们可以找到三个时间点，即t2、t3 和 t5，此时所需能量曲线的斜率等于供应能量曲线的斜率。第二步，我们发现只有在t3 之后，所需能量曲线的斜率才小于供给能量曲线的斜率。因此，我们将t3 从集合中移除，得到 t2 和 t5 作为两条射线R1 和 R2 的起始时间点，如图6b所示。R1 的起点为（t2，Ei(t2) + Bi），而 R2 的起点为（t5，Ei(t5) + Bi）。

直观上，这些射线表示在能量存储容量无限且能量存储在 tb,sk 时刻存储了 Bi 的情况下，si 在 tb,sk 之后接收的能量。换句话说，R 表示 si 在 tb,sk 之后可能接收的最大能量的曲线。需要注意的是，由于能量存储容量的限制，充电能量可能溢出，导致接收能量曲线部分位于 R 下方。作为一个说明性示例，在图6b中，R1 的起点是 (t2, Ei(t2) + Bi)，斜率为 Pminc。R1 在 [t2, t3] 期间与 Ecsi(t) 重合。

根据该射线集R的定义，我们可以证明以下引理。在提出这些引理之前，我们首先解释这些引理背后的直观思想。

引理3.4‐3.6背后的直观解释。 这些引理的直观含义如下： （i）观察1表明，我们只需检查设备放电阶段期间接收能量曲线Ecsi(t)与所需能量曲线Ei(t)之间的几何关系；（ii）观察3表明，在设备的放电阶段期间，Ecsi(t)必须是直线，且其斜率等于供应能量曲线Ec(t)的斜率；（iii）观察2给出了放电阶段可能开始的时间点T={t1, t2, … ,tq}。

由于无法知道在特定时间点 ti ， 1 ≤i ≤q 时能量存储是否已满，我们转而假设在时间 ti ， 1 ≤i ≤q 时能量存储已满，并且在 ti 之后充电能量不会溢出。然后我们可以绘制 q 条辅助曲线，这些曲线在这些假设下表征接收能量，根据定义3.3，这些曲线为射线。根据定义3.3，原始接收能量曲线与射线之间存在两种可能的几何关系：（i）如果在 ti ， 1 ≤i ≤q 时能量存储已满，则对应的射线 Ri 在相应的 SDI [tb,s i , tb,e i] 期间与接收能量曲线相同。（ii）如果在 ti ， 1 ≤i ≤q 时能量存储未满，则射线 Ri 在该 SDI 期间必须位于接收能量曲线上方，并且该 SDI 期间的接收能量曲线必须被一条射线覆盖，该射线的起点是前一个存储溢出阶段的终点。

因为我们假设能量存储中的能量大于设备在ti时刻实际存储的能量， 1 ≤i ≤ q并且在之前的溢出阶段之后没有能量溢出。因此，我们可以比较射线与Ei(t)之间的几何关系，以检验Ecsi(t)和Ei(t)之间的几何关系。

由于射线和Ei(t) 都可以用数学方式表示，因此找到射线与 Ei(t) 之间的空间关系就成为了一项

解析几何中的经典问题。我们可以应用书籍[28]中介绍的方法来检验R与Ei(t)之间的几何关系。

图6b展示了一个示例来说明这一直观理解。由于篇幅限制，这三个引理的详细证明见在线版本[1]。

引理3.4（上方验证）。 Ecsi（t）位于Ei（t）之上当且仅当 ∀j，Rj不低于Ei（t）。

引理3.5（切线验证）。 Ecsi（t）与Ei（t）相切当且仅当 ∃j，Rj与Ei（t）相切，且其他射线位于Ei（t）之上。

引理3.6（唯一性验证）。 给定Ei（t）和Bi，存在唯一的充电功率Popt，使得对应的接收能量曲线Ecsi（t）与Ei（t） 相切。

通过二分查找寻找Popt。 给定所需功率曲线Pi(t)和储能缓冲区大小Bi，我们采用二分搜索算法，利用引理1‐3验证每个搜索值Pc的可行性与最优性，从而为si找到Popt。该二分搜索算法的伪代码如下所示。

Algorithm 1 二分搜索算法
要求：Pi(t), Bi
确保：Popt
1: Pc = (Pminc + Pmaxc) / 2, Popt = 0.
2: 将Pc设置为待验证的充电功率
3: 当 Popt = 0 执行 do
4:   如果 Ecsi(时间) 在任何时间 t 都不低于 Ei(时间)（使用引理3.4进行验证）
5:     如果存在至少一个时间点t，在该时间点 Ecsi(t) 与Ei(t)相切（使用引理3.5进行验证）
6:       Popt = Pc（根据引理3.6）
7:     else
8:       Pmaxc = Pc
9:     end if
10:  else
11:    Pminc = Pc
12:  end if
13: end loop

在第4行，算法根据引理3.4检查在Pc下，对应的Ecsi(t)是否不低于Ei(t)。若不满足，则说明该Pc可安全地作为Popt的下界，因为Pc过小而不可行（第11行）。否则，若成立，则算法在第5行根据引理3.5检查Ecsi(t)是否曾与Ei(t)相切。若不满足，则说明该Pc可安全地作为Popt的上界，因为该Pc可行但过大（第8行）。否则，若成立，则算法根据引理3.6将Popt = Pc （第6行）。该二分查找算法将在找到Popt值时终止。

4 第二阶段：充电功率调节

在第3节中推导出每个设备所需的最小充电功率后，第二阶段的目标是调节每个充电器的充电功率，使得所有设备能够持续工作，同时最小化总充电功率。需要注意的是，一个设备可能同时从多个充电器接收能量。为了建立该问题的模型，我们首先假设这些固定的充电器是

表1：能量消耗模块

模块	所需功率（毫瓦）
LED/加速度计	0.4925 / 0.3120
微控制器单元 (Active)/微控制器单元 (LP M4)	0.3292 / 0.2029
温度传感器	0.2786

放置在多个不同位置，并将每个位置j表示为(jx, j y)。网络中设备si的位置可通过定位技术[27]确定，并表示为(Lix, Liy)。因此，位置j与设备si位置之间的距离为di,j= √(Lix −jx)²+ (Liy −j y)²，对应充电器向设备si提供的充电功率，记为Pi,j，可通过公式(2)计算得出。

正式地，设Pi表示使用第3节中提出的充电计算方法得到的si的最小所需充电功率。设Pj表示第j个充电器的输出充电功率。给定该区域内m个固定充电器的位置，我们可以将此问题数学形式化为：

$$
\min \sum_{j=1}^{m} P_j
$$

subject to:

$$
\sum_{j=1}^{m} Pi,j \geq Pi, \quad 1 \leq i \leq n
$$

$$
Pi,j = \frac{\alpha}{(di,j+ \beta)^2} P_j, \quad 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m
$$

$$
di,j = \sqrt{(Lix −jx)^2+(Liy −j y)^2},
$$

其中∑ₘⱼ₌₁Pⱼ表示所有充电器的总输出充电功率，而Pⱼ(1 ≤j ≤ m)是该模型中唯一的变量。因此，该模型属于经典线性规划，求解该模型可得到具有多项式时间复杂度[24]的最优解。

5 实现与实验

为了评估所提出的技术的性能，我们基于实际实现进行了实验。

5.1 实验设置和基线

图8展示了我们的室内实验平台。我们使用了两个充电器（ Powercast TX91501[6]）和8个可充电传感器节点（WISP 4.1[9]），部署在一个1.2米×× 1.2米的方形区域内。WISP集成了两个板载传感器（一个三轴加速度计和一个温度传感器）、一个机器控制单元和一个LED。各模块的所需功率列于表1中。通过选择性地开启/关闭不同模块，我们可以模拟传感器节点在时间上的不同工作负载调度。实验中采用了两种能量存储设置：储能容量分别为5 mJ和2.5 mJ[14]。此外，我们在该系统中应用ATHOME来调节充电器功率，以向传感器节点供应能量。需要注意的是，这两个充电器实际上是定向的，只能通过一个方向向传感器节点传输能量。因此，我们将两个充电器背对背放置，以此模拟全向充电器，实验结果表明该配置能够提供合理的精度。我们使用数字示波器（R&S RTO 数字示波器[3]）来测量传感器的电压节点的能量存储。由于所需能量无法直接测量，我们使用电压降来计算所需能量的量。

评估目标 是研究 (i) 正确性：ATHOME 提供的充电功率是否足以支持传感器节点在实际中持续工作；如果某些传感器节点由于干扰（例如意外充电或所需功率突发性）而发生故障，则此类故障情况的发生频率如何；以及（ii）紧密度：在 ATHOME 下提供的能量与运行时测得的实际所需能量之间的差距，该差距在所有结果图中表示为“Actual”。

正确性验证。 图7展示了八个子图，每个子图包含五条曲线，分别表示每个对应传感器节点的所需能量，以及在两种储能容量（2.5 毫焦和5 毫焦）下ATHOME提供的测量供给能量和接收能量。（注意：每个子图中五个图例的名称已足够直观地描述这五条曲线。）在实验中，除第一个传感器节点外，其余所有传感器节点均能在整个实验持续时间内持续工作。从图7可以看出，在两种储能设置下，传感器节点2、3、4、5、6、7 和8在任意时刻的接收能量均不低于所需能量，这意味着这些传感器节点在整个实验期间均可持续运行。通过更仔细地观察图7b，可以发现“ATHOME接收5 毫焦”和“所需能量”这两条曲线有一个交点

很常见。这是因为此时能量存储已耗尽。在几个图中（例如图 7c和图7e），可以看出代表“ATHOME接收2.5毫焦”的曲线不是一条直线。这是因为能量存储在某些时间点已充满，当充电功率大于所需功率时，充电能量会部分溢出。

另一方面，如图7a所示，第一个传感器节点的接收能量曲线在时间4左右及之后的部分低于所需能量曲线。在我们的功率模型中，我们假设每个设备的所需功率根据其配置文件是给定且稳定的。但在实际中，所需功率可能会发生波动。因此，当实际所需功率大于预期所需功率时，传感器节点可能会耗尽能量。例如，在图7a中，“ATHOME 接收 5 毫焦”情况下储能大约在时间4变为空，此时充电功率等于所需功率（在[4, 6]期间）。但由于时间4处所需功率发生波动，实际所需功率超过了充电功率，从而导致第一个传感器节点能量耗尽。实验结果还表明，在整个实验期间，大多数传感器节点（7/8）能够正常工作。然而，总体而言，实验结果证明ATHOME得出的充电功率解是充分的，能够正确为设备供电，使其持续运行。

紧密性验证。 从图7的全部八个子图中可以看出，“ ATHOME 接收 5 毫焦”所提供的能量与所需能量非常接近。例如，如图7a所示，在储能容量为5毫焦的第一个传感器节点下，ATHOME在任意时间点提供的能量最多比所需能量高出8%。这表明ATHOME产生的充电功率值具有合理的紧密度。此外，在两种储能设置下，几乎所有传感器节点的供应能量曲线都与接收能量曲线非常接近。例如，如图7b、图7d和图7e 所示，接收能量曲线几乎与供应能量曲线重合（针对两种储能设置）。这表明几乎没有能量溢出。另一个有趣的观察结果是

在大多数传感器节点中，“ATHOME 接收 2.5 毫焦”比“ ATHOME 接收 5 毫焦”提供了更多的能量。这是因为在能量存储较小的情况下，“ATHOME 接收 2.5 毫焦”能在存储中保存的能量较少，因此需要更多的提供能量。

讨论。 我们的实验揭示了ATHOME能够显著减少溢出能量的原因。直观来看，在相同的工作功率曲线下，具有较大能量存储（5 毫焦）的传感器节点所需的提供能量比具有较小能量存储（2.5 毫焦）的传感器节点更少。这是因为在能量存储较小时，当充电功率大于工作功率时，传感器节点在储能装置中储存的能量较少，因此在充电功率小于工作功率的时间段内，需要更多的提供能量来满足其能量需求。实验结果证实了这一推断。如图7中的八个子图所示，“ATHOME 提供”与“所需能量”之间的差距在“2.5 毫焦”情况下比“5 毫焦”情况更大。这意味着“5 毫焦”情况下的能量溢出更少。我们实验结果中的另一个反直觉观察是，在大多数情况下，提供能量大于接收能量，这表明存在提供的能量溢出。这是因为充电功率是一个恒定值，并且在任何时间点，所有传感器节点的提供能量必须不少于所需能量。因此，为了在传感器节点工作功率“峰值”时提供足够的能量，在“峰值”之后，提供能量可能大于接收能量。例如，在图7b中，时间点5处，“ATHOME 提供 5 毫焦”等于“ATHOME 接收 5 毫焦”和“所需能量”。这表明在“峰值”时，提供能量等于所需能量，如果此时充电器提供的充电功率更小，传感器节点将在时间点5失效。因此，即使充电功率对该传感器节点而言是最优的，提供能量仍然会发生溢出。

6 基于仿真的评估

为了进一步评估ATHOME在拥有大量智能设备和充电器的实际智能家居中的应用，我们进行了大量的仿真。在本节中，我们展示了获得的仿真结果。

仿真设置。 我们假设无线可充电设备在一个50英尺× 50英尺的二维方形区域（美国平均住宅面积[10]）内随机部署。嵌入式设备的默认数量为 500[4]。对于充电模型（公式2），我们设置 α= 150和 β= 30。选择这些值是因为它们如第2.1节所述，能够很好地拟合我们的实验曲线。对于每个设备，能量存储的平均容量为5J[14]，平均所需功率为25毫瓦[26]。每张图中的每个数据点都是通过对100次运行（不同的节点部署和系统参数）的结果取平均值得到的。

基线设置。 目前尚无现有工作旨在最小化具有有限能量存储设备的所有充电器的总充电功率。为了便于比较，我们引入了一种基线方法，该方法在假设无能量存储的情况下持续为设备充电，记为“NSC”。因此，NSC将Pmaxc视为每个设备所需的充电功率。

除了基线方法外，我们还与根据工作功率曲线计算的所需能量（记为“Required Energy”）进行了比较。该指标用于说明ATHOME所得解的紧密性，即ATHOME与设备理论上所需的最小能量之间的性能差距。

仿真结果。设备数量的影响。 我们首先研究在ATHOME、 NSC和所需能量下，设备数量对总供应能量的影响。结果如图 9a所示。从图9a可以看出，在所有情况下，ATHOME提供的能量远低于NSC。例如，当设备数量为500时，ATHOME产生的总供应能量为25 J，而NSC需要提供35 J，比ATHOME提供的能量高出约40%。我们还可以看到，ATHOME产生的供应能量与所需能量基线非常接近，表明其性能优异。

平均缓冲区大小的影响。 我们还研究了在ATHOME、 NSC和所需能量下，平均储能容量对所有已部署充电器提供的总能量的影响。从图9b中可以看出，NSC的性能曲线是一条水平线。这是因为NSC在假设无缓冲的情况下运行。显然，在所有情况下，ATHOME的性能都远优于NSC。此外， ATHOME在各种情况下的表现再次非常接近所需能量基线。

所需功率标准差的影响。 我们还研究了传感器节点所需功率的标准差的影响。如图9c所示，ATHOME仍然远优于 NSC，并且表现非常接近所需能量基线。另一个观察结果是，当标准差增大时，三种方法下的提供能量也随之增加。这是因为较大的偏差表明传感器节点可能在较短时间内消耗更多的能量。为了满足能量需求，需要提供更多的能量。

平均所需功率的影响。 为了研究在ATHOME、NSC和所需能量下，平均所需功率对总供应能量的影响，我们进行了平均所需功率从1mw到200mw的仿真，结果如图9d所示。可以看出，随着平均所需功率的增加，总供应能量也随之增加。这是因为在平均所需功率增加时，支持节点所需的能量也更多。同样，ATHOME的性能接近所需能量基准，并优于NSC。例如，当平均所需功率为25mw时，ATHOME向所有传感器节点提供了16J的能量，而Oracle提供了15J的能量，仅比 ATHOME提供的能量少6.25%。

7 相关工作

可充电传感器网络的研究由于其广泛的应用领域而受到越来越多的关注 – 。根据网络中部署的充电器类型，可充电传感器网络可分为两类： 基于移动充电器的网络和基于固定充电器的网络。已有多种移动充电器调度算法被研究用于延长无线传感器网络的寿命[12, 20, 30]。Xie 等[30]采用了一种移动充电器在网络内的行进策略，以持续为传感器节点充电。在网内行驶过程中，充电器会在多个停靠点停留，并为附近的传感器节点充电。通过满足一定的约束条件，网络中的任何传感器节点都不会耗尽能量。在[20],中，作者假设每个传感器节点的充电时间远长于移动充电器的行驶时间，因此调度算法忽略了问题的空间因素。在[12],中，何等人将传感器节点划分为不同的组，并应用TSP算法对每组内的节点进行充电。Fu 等[11]通过规划RFID读写器的最佳移动策略来解决该问题，使得将网络中所有节点的电量充至其能量阈值以上所需的时间最小化。他们的研究在假设传感器节点在充电期间不工作的情况下表现出合理的性能。因此，这些方法不适用于传感器节点的实际使用场景，因为节点在运行时也应能够被充电。

8 结论

本文提出了ATHOME，它能够自动调节多个固定式无线充电器的充电功率，为具有不同工作功率曲线的智能设备提供持续运行所需的充足能量，同时最小化总充电功率。我们在 WISP平台上的8个可充电节点上实现了ATHOME。基于实验和仿真的评估结果表明，ATHOME提供了充足、精确且自适应的充电功率，使节点能够持续工作。