7、随机游走 - 跳跃链与电车旅行时间预测研究

随机游走 - 跳跃链与电车旅行时间预测研究

1. 随机游走 - 跳跃链的时间可逆性

在随机过程领域，时间可逆性是一个重要的概念。对于马尔可夫链，如果满足 (Q_{st} = M_{st})（对于所有的 (s) 和 (t)），则称该马尔可夫链是时间可逆的。这个条件也可以表示为 (P{\pi_s} M_{st} = P{\pi_t} M_{ts})（对于所有 (s \neq t)）。其含义是，对于所有状态 (s) 和 (t)，过程从 (s) 到 (t) 的速率（即 (P{\pi_s} M_{st})）等于从 (t) 到 (s) 的速率（即 (P{\pi_t} M_{ts})）。

有一个定理给出了有限遍历马尔可夫链时间可逆的充要条件：一个有限遍历马尔可夫链，当 (M_{ts} = 0) 时 (M_{st} = 0)，它是时间可逆的，当且仅当从状态 (s) 出发，任何回到 (s) 的路径的概率与反向路径的概率相同，即 (M_{s,s_1} M_{s_1,s_2} \cdots M_{s_k,s} = M_{s,s_k} M_{s_k,s_{k - 1}} \cdots M_{s_1,s}) 对于所有状态 (s, s_1, \cdots, s_k) 都成立。

基于这个定理，我们可以得出与有限平稳马尔可夫过程相关的任何树结构都是时间可逆的。例如，如果与平稳马尔可夫过程相关的图 (G) 是一棵树，那么该过程是时间可逆的。

2. 树上的随机游走

2.1 定义

• 层次结构构建 ：搜索空间被构建为一个最大深度为 (D = \log_2(N))（(N) 为整数）的平衡二叉树。为了方便，