bzoj3130 [Sdoi2013]费用流

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本文探讨了一种特殊情况下最大流问题及其费用优化策略。通过详细分析问题背景与求解过程，介绍如何找到最大流值及在限制条件下实现总费用最小化的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.elijahqi.win/2018/02/17/bzoj3130/
Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。

接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
3 2 1
1 2 10
2 3 15
Sample Output
10
10.0000
HINT

【样例说明】

对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用

为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

认真分析题目之后我猜想首先alice一定想让我最大流量的那条边最小 bob一定想把这个p放在流量最大的边最好但是没想到一点就是我一定是把这个p放在流量最大的边就是最优解证明的话可以考虑把p拆成几个小p然后分别放到其他的边上组合起来看一看大小即可那么针对alice的这个决策我只需要二分一下我最大流的上届即可然后每次最大流验证就okay 注意最大流有精度问题

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 110
#define M 1100
#define eps 1e-8
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
struct node{
    int y,next;double z;
}data[2200];
inline double fabs(double x){return x>0?x:-x;}
int num=1,cur[N],h[N],level[N],T,n,m,p,st[M],ed[M];double w[M],ans;
inline bool bfs(){
    memset(level,0,sizeof(level));level[1]=1;queue<int>q;q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for (int i=h[x];i;i=data[i].next){
            int y=data[i].y;double z=data[i].z;
            if (level[y]||z<eps) continue;level[y]=level[x]+1;q.push(y);if (y==T) return 1;
        }
    }return 0;
}
inline double dfs(int x,double s){
    if(x==T) return s;double ss=s;
    for (int &i=cur[x];i;i=data[i].next){
        int y=data[i].y;double z=data[i].z;
        if (level[x]+1==level[y]&&z>eps){
            double xx=dfs(y,min(z,s));if (xx<eps) level[y]=0;
            s-=xx;data[i].z-=xx;data[i^1].z+=xx;if (s<eps) return ss;
        }
    }return ss-s;
}
inline void insert1(int x,int y,double z){
    data[++num].y=y;data[num].z=z;data[num].next=h[x];h[x]=num;
    data[++num].y=x;data[num].z=0;data[num].next=h[y];h[y]=num;
}
inline bool check(double mid){
    num=1;memset(h,0,sizeof(h));double tmp=0;
    for (int i=1;i<=m;++i) insert1(st[i],ed[i],min(mid,w[i]));
    while(bfs()) memcpy(cur,h,sizeof(cur)),tmp+=dfs(1,inf);
    return fabs(tmp-ans)<eps;
}
int main(){
//  freopen("bzoj3130.in","r",stdin);
    n=read();m=read();p=read();T=n;double l=0,r=0;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int x=read(),y=read();double z=read();r=max(z,r);
        st[i]=x;ed[i]=y;w[i]=z;insert1(x,y,z);
    }ans=0;while(bfs()) memcpy(cur,h,sizeof(cur)),ans+=dfs(1,inf);
    printf("%d\n",(int)ans);
    while(r-l>eps){
        double mid=(l+r)/2;
        if (check(mid)) r=mid;else l=mid;
    }printf("%lf",r*p);
    return 0;
}