BZOJ 3130 SDOI 2013 最大流

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本文探讨了最大流问题及费用分配策略。介绍了一种基于二分搜索与增广路径算法来解决最大流问题的方法，并通过示例展示了Alice与Bob如何在给定网络流条件下进行最优费用分配。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Bob：显然使流量最大的边，容量为p即可。

Alice：二分最大边。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 2005;
namespace Graph {
    int head[N], next[M], to[M], vis[N], cur[N], level[N], q[N * 10];
    double w[M];
    int edge_cnt = 0, s, t;
    void add(int a, int b, double c) {
        next[edge_cnt] = head[a]; to[edge_cnt] = b; w[edge_cnt] = c; head[a] = edge_cnt++;
        next[edge_cnt] = head[b]; to[edge_cnt] = a; w[edge_cnt] = 0; head[b] = edge_cnt++;
    }
    bool bfs() {
        memset(level, -1, sizeof level);
        int f = 0, r = 0;
        q[r++] = s; level[s] = 0;
        while (f < r) {
            int u = q[f++];
            for (int i = head[u]; i != -1; i = next[i])
                if (w[i] > 0 && level[to[i]] == -1) {
                    level[to[i]] = level[u] + 1;
                    q[r++] = to[i];
                }
        }
        return level[t] != -1;
    }
    double dfs(int u, double low) {
        if (u == t) return low;
        double res = 0;
        for (int i = cur[u]; i != -1 && res < low; i = next[i])
            if (w[i] > 0 && level[to[i]] == level[u] + 1) {
                double tmp = dfs(to[i], min(low - res, w[i]));
                res += tmp; w[i] -= tmp; w[i ^ 1] += tmp;
                if (w[i]) cur[u] = i;
            }
        if (!res) level[u] = -1;
        return res;
    }
    double solve() {
        double ans = 0;
        while (bfs()) {
            memcpy(cur, head, sizeof cur);
            ans += dfs(s, 1e18);
        }
        return ans;
    }
}

double a[N], b[N], c[N];
int m;

int build(double mid) {
    using namespace Graph;
    memset(head, -1, sizeof head);
    edge_cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++)
        add(a[i], b[i], min(c[i], mid));
    return solve();
}

int main() {
    using namespace Graph;
    int n, i; double p, mi, l = 0, r = 1e18, ma;
    scanf("%d%d%lf", &n, &m, &p);
    s = 1; t = n;
    for (int i = 0; i < m; i++)
        scanf("%lf%lf%lf", a + i, b + i, c + i), ma = max(ma, c[i]);
    mi = build(r = ma);
    while (r - l > 1e-5) {
        double mid = (l + r) / 2, flow = build(mid);
        if (fabs(flow - mi) < 1e-6)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    printf("%.0lf\n%.4lf", mi, l * p);

    return 0;
}

3130: [Sdoi2013]费用流

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSec Special Judge
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Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
2 3 1 5

Sample Output

10
10.0000

HINT

【样例说明】

    对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

    对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用

为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

【数据规模和约定】

    对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。

    对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。

    对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。