24、非自适应复杂分组测试与图分割问题研究

非自适应复杂分组测试与图分割问题研究

1 非自适应复杂分组测试

1.1 分组测试问题概述

在经典的非自适应分组测试问题中，当 (s = 1) 且 (k = 1) 时，(t_0 = O(d^2 \log n))，这与下界相匹配。而在解决不相交对的非自适应分组测试问题时，当 (s = 2) 且 (k = 1) 时，(t_0 = O(d^3 \log n))。

1.2 构造 ((\overline{d}, \overline{s})) - 可分矩阵

1.2.1 可分矩阵的条件

矩阵 (M) 成为 ((\overline{d}, \overline{s})) - 可分矩阵的充分条件是：对于任意 (d + s) 列，存在 (\binom{d + s}{s}) 行，使得诱导的 (\binom{d + s}{s} \times (d + s)) 矩阵表示 (d + s) 列中所有可能的 (s) 个 ‘1’ 的组合。

1.2.2 随机矩阵的性质

引理 3 表明，对于某个 (t \leq t_0)，一个随机的 (t \times n) 矩阵中满足上述要求的 (d + s) 列组合的期望数量大于 (\binom{n}{d + s} - 1)。具体证明如下：
对于任意 (d + s) 列的子集 (C)，(M(C)) 是 ((\overline{d}, \overline{s})) - 可分矩阵的概率至少为 (1 - \binom{d + s}{s} \left(1 - \frac{\binom{n - (d + s)}{k - s}}{\binom{n}{k}}\right)^{t_0})。