18、线性精确阈值函数与子模函数最小化问题研究

线性精确阈值函数与子模函数最小化问题研究

线性精确阈值函数相关结论

对于线性精确阈值函数，有如下重要定理：
- 定理 2 ：对于任意维度为 $k$ 的线性精确阈值函数，存在一个解 $w$，满足 $\omega(w) = O\left( \left(\frac{k + 1}{4} \right)^{1.5k^2 + O(k)} \cdot \min{2^k, n - k}^{2k + 1} \cdot n^k \right)$。从这个定理可以直接推导出定理 1。对于一般的 $k$，定理 2 给出了一个上界 $O(k^{O(k^2)}n^k) = O(n^{O(k^2)})$。

在研究线性精确阈值函数的整数表示权重时，有以下构建和分析结果：
- 首先，对于常数维度 $k$，给出了一个显式构建，得到权重的紧上界为 $O(nk)$。这种构建方法也适用于一般情况，但上界变为 $O(k^{O(\exp(k))}n^k)$。
- 然后，通过更复杂的分析表明存在一个上界为 $O(k^{O(k^2)}n^k)$ 的解。

子模函数最小化问题概述

子模函数在组合优化、博弈论等领域起着重要作用。若对于有限非空集合 $N$，实值函数 $\rho$ 在 $2^N$ 上满足 $\rho(X) + \rho(Y) \geq \rho(X \cup Y) + \rho(X \cap Y)$（对于所有 $X, Y \subseteq N$），则称 $\rho$ 为子模函数。

子模函数最小化问题的研究历程如下：
- 最初，Grötschel、Lovász 和 Schrijver 通过椭球法给出了第