17、低失真度量嵌入与精确阈值函数权重的研究

低失真度量嵌入与精确阈值函数权重的研究

低失真度量嵌入

在度量空间的研究中，存在一种将度量空间嵌入到特定目标空间的方法。这种嵌入能够同时满足以下特性：目标空间具有恒定的维度（与源点的数量无关），失真可以任意低，并且该嵌入是针对原始度量，而非其修改版本。而且，这种嵌入可以通过线性时间算法来计算。

精确阈值函数权重的研究

1. 背景与问题提出

• 阈值函数相关概念
  • 线性阈值函数 (f(x))（(x \in R^n)）是一个布尔函数，用于判断 (w^T x \geq t)，其中 (w = (w_1, w_2, \ldots, w_n) \in R^n) 被称为权重，(t \in R) 被称为阈值。
  • 线性精确阈值函数则是判断 (w^T x = t) 的布尔函数。这些阈值函数与电路复杂度、学习理论和结构复杂度理论等多个领域密切相关。
• 权重问题
  • 对于一个（精确）阈值函数 (f)，其表示（权重 (w) 和阈值 (t) 的选择）并非唯一。为了简化问题，我们通常假设 (w \in Z^n) 和 (t \in Z)。一个自然且重要的问题是找到表示（精确）阈值函数所需的最小权重，即最小化 (\max_{1\leq i\leq n} |w_i|)，我们将这个值称为 (w) 的关键权重。
  • 对于阈值函数的权重问题，已有很长时间的研究历史。之前的研究给出了线性阈值函数关键权重的上界和下界。对于线性精确阈值函数，也有相关的上下界研