45、矩阵代数与分解：原理、应用及公式解析

矩阵代数与分解：原理、应用及公式解析

1. 矩阵代数基础

在矩阵代数中，有一些重要的性质和关系。对于矩阵 $\hat{u}$，有 $\hat{u}u = 0$ 且 $u^T\hat{u} = 0$，这意味着矩阵 $\hat{u}$ 的列和行总是与向量 $u$ 正交。同时，如果 $A$ 是一个行列式为 1 的 3×3 矩阵，那么有 $A^T\hat{u}A = \widehat{A^{-1}u}$。这个性质非常实用，例如它允许我们以如下方式将矩阵 $A$ 穿过反对称矩阵 $\hat{u}$：$\hat{u}A = A^{-T}\hat{u}A = A^{-T}\widehat{A^{-1}u}$。不过，当矩阵 $A$ 的行列式不为 1 或者 $A$ 不可逆时，这个结果需要进行相应的修改。

2. 奇异值分解（SVD）

2.1 SVD 的重要性

奇异值分解（SVD）是捕捉矩阵（代表线性映射）基本特征的有用工具，如矩阵的秩、值域空间、零空间和诱导范数等，还能将特征值 - 特征向量对的概念推广到非方阵。SVD 的计算在数值上具有良好的条件性，这使得它在解决许多线性代数问题时非常有用，包括矩阵求逆、秩的计算、线性最小二乘（LLS）估计、投影和固定秩逼近等。

2.2 相关引理及证明

在证明 SVD 定理之前，有一个重要的引理：设 $A \in \mathbb{C}^{m\times n}$ 且 $A^ $ 是其共轭转置，则总有 $N(AA^ ) = N(A^ )$，$R(AA^ ) = R(A)$。
- 证明 $N(AA^ ) = N(A^