49、图优化问题的通用方法与应用

图优化问题的通用方法与应用

1. MST 问题的应用

最小生成树（MST）问题在解决许多其他图问题中非常有用，下面将详细讨论 Steiner 树问题和旅行商问题。

1.1 Steiner 树问题

给定一个带非负权重的无向图 $G = (V, E)$ 和节点集合 $S$，目标是找到连接 $S$ 中节点的最小成本边子集 $T$，这样的 $T$ 被称为最小 Steiner 树。它是连接集合 $U$ 的树，其中 $S \subseteq U \subseteq V$，挑战在于选择 $U$ 以最小化树的成本。最小生成树问题是 $S$ 包含所有节点的特殊情况。

例如，假设 Taka - Tuka - Land 中的一些岛屿无人居住，目标是连接所有有人居住的岛屿，最优解决方案可能会包含一些无人居住的岛屿。

Steiner 树问题是 NP 完全问题，下面介绍一种构建接近最优解两倍成本的解决方案的方法：
1. 构建一个节点集为 $S$ 的辅助完全图 $H$，对于 $S$ 中的任意一对节点 $u$ 和 $v$，$H$ 中边 ${u, v}$ 的成本是它们在 $G$ 中的最短路径距离。
2. 设 $T_A$ 是 $H$ 的 MST，其成本为 $c_H$。
3. 将 $T_A$ 中的每条边替换为它在 $G$ 中代表的路径，得到 $G$ 的一个子图，该子图连接 $S$ 中的所有节点，成本为 $c_H$，可能包含平行边和环。
4. 移除平行边并从环中删除边，直到剩余子图无环，得到的 Steiner 树成本至多为 $c_H$。

定理表明，上述算法构建的 Steiner 树成本至多为最优 Steiner 树成