25、排序与选择算法全解析

排序与选择算法全解析

1. 排序的重要性与应用场景

排序在我们的生活和计算机科学中无处不在。以电话簿为例，它按姓氏字母顺序排列，这样无论是人还是计算机，都能快速找到所需的名字。即使是大城市的电话簿，也能在几秒内完成查找。而如果电话簿是无序的，查找名字几乎是不可能的。

排序的应用场景十分广泛。在早期的数据处理任务中，统计人口普查数据就是一个典型例子。1880 年，1500 人花费了 7 年时间手动处理美国人口普查数据。而工程师 Herman Hollerith 参与了此次评估，在接下来的 10 年里，他致力于开发计数和排序机器，用于机械化这一庞大的工作。到 1890 年，尽管需要评估更多的人和问题，但基本评估在 1891 年就完成了。Hollerith 的公司后来发展成为国际商业机器公司（IBM），在信息处理行业中发挥了重要作用。

在人口普查统计中，排序也非常重要。例如，我们可能想找出年龄在 20 到 30 岁之间且住在农场的所有人。通过两次排序操作可以解决这个问题：首先按年龄对所有人进行排序，找出 20 到 30 岁的人群；然后对这个子集合按居住类型（如房屋、公寓、农场等）进行排序，提取出住在农场的人。

2. 排序的正式定义

输入是一个包含 n 个元素的序列 $s = \langle e_1, \ldots, e_n \rangle$，每个元素 $e_i$ 都有一个关联的键 $k_i = key(e_i)$。这些键来自一个有序的集合，即存在一个线性顺序（也称为全序）$\leq$ 定义在这些键上。为了方便表示，我们将比较关系扩展到元素上，使得 $e \leq e’$ 当且仅当 $key(e) \leq key(e’)$。由于不同元素可能具