样本比率 p¯ 是总体比率 p 的点估计。
下面我们了解下 p¯ 的期望、标准差、形状这些数学特征。
p¯ 的数学期望
E(p¯)=p ,其中p为总体比率。
p¯ 的标准差
p¯ 的标准差与总体是有限还是无限有关。
有限总体下:
σp¯=N−nN−1‾‾‾‾√p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√
无限总体下:
σp¯=p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√
与样本均值 x¯ 情况一样,当 n/N⩽0.05 时,有限总体和无限总体在表达式上的区别可忽略不计,统一按通式 σp¯=p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√ 来计算。
p¯ 的形状
对一个来自大容量总体的简单随机样本而言,样本中具有某种特征的个体数目 x 是一个服从二项分布的随机变量。这意味着
可以证明,当
np≥5 且 n(1−p)≥5 时,二项分布可用正态分布来近似。所以当满足这两个条件时, p¯ 的抽样分布可用正态分布来近似。