抽样和抽样分布-样本比率的抽样分布

本文介绍了样本比率作为总体比率的点估计的相关统计特性,包括其数学期望、标准差及抽样分布的形状,并讨论了在不同条件下样本比率的近似正态分布。

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样本比率 p¯ 是总体比率 p 的点估计。
p¯ 的抽样分布是样本比率 p¯ 的所有可能值的概率分布。
下面我们了解下 p¯ 的期望、标准差、形状这些数学特征。

p¯ 的数学期望

E(p¯)=p ,其中p为总体比率。

p¯ 的标准差

p¯ 的标准差与总体是有限还是无限有关。
有限总体下:
σp¯=NnN1p(1p)n
无限总体下:
σp¯=p(1p)n
与样本均值 x¯ 情况一样,当 n/N0.05 时,有限总体和无限总体在表达式上的区别可忽略不计,统一按通式 σp¯=p(1p)n 来计算。

p¯ 的形状

对一个来自大容量总体的简单随机样本而言,样本中具有某种特征的个体数目 x 是一个服从二项分布的随机变量。这意味着 p¯(=x/nn) 的抽样分布同样是一个二项分布,且 x/n 取每个值的概率是和 x 相对应的。
可以证明,当

np5n(1p)5 时,二项分布可用正态分布来近似。

所以当满足这两个条件时, p¯ 的抽样分布可用正态分布来近似。

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