41、椭圆曲线离散对数问题与相关难题及系数 H 技术解析

椭圆曲线离散对数问题与相关难题及系数 H 技术解析

在密码学领域，椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）以及相关的难题一直是研究的热点。同时，系数 H 技术作为一种证明密码系统安全性的工具，也具有重要的地位。下面将详细介绍 ECDLP 相关难题以及系数 H 技术。

1. 椭圆曲线离散对数问题相关难题

1.1 ECDLP 求解方法

通过结合定理 6 中方程（4）的适当实例，使得 t(k) 满足形如 A = Bt(k) 的方程。具体步骤如下：
1. 为每个 n = pi(k) 结合一个实例，其重数由相应的 ei 给出，得到形如 $\prod_{i=1}^{N} WE,P (pi(k))^{ei} / \prod_{i=1}^{N} WE,P (pi(k))^{ei} = φ(P)t(k)$ 的方程。
2. 方程左边 A 包含已知乘积以及形如 φ([pi(k)]P) 的项，B = φ(P)。
3. N 个点 [pi(k)]P 可以在 O(log q) 次曲线运算内，根据 P 和 Q = [k]P 计算得出，而无需知道 k 的值。
4. 利用定理 8，各种 φ 项可以在 O((log q)^3) 时间内计算得出。
5. 通过索引微积分方法，可以在亚指数时间内求解离散对数 A = Bt(k) 以得到 t(k)。
6. 由于 t(k) 的次数最多为 2，从 t(k) 求解 k 需要在 Z/(q - 1)Z 中求平方根，这又依赖于对 q - 1 进行因式分解，使用数域筛法可在亚指数时间内完成。

在很多情况下，这些算法的运行时间为 r(q) = exp(c(log q)^(1/3)(log log q)^(2/3))