概率论-协方差Covariance&相关系数Correlation Coefficient

本文详细介绍了协方差和相关系数的概念。协方差用于衡量两个变量的线性相关性,当变量独立时其值为0。相关系数则是协方差的标准化形式,消除量纲影响,其值范围在-1到1之间,表示变量间的相关程度。相关系数为1或-1意味着完全正相关或负相关,而0则表示没有线性关系,但并不排除其他形式的相关性。

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协方差Covariance

定义

定 义 : G o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] 定义:Gov(X,Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] Gov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)]
G o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Gov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y) Gov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)
E ( X Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y E(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy E(XY)=++xyf(x,y)dxdy

可以看出,若X,Y相互独立,协方差为0.

ps. D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 C o v ( X , Y ) D(X\pm Y) = D(X) +D(Y) \pm 2Cov(X,Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)

性质

根据定义可证:

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