牛顿迭代法解非线性方程组

最新推荐文章于 2024-02-07 21:31:33 发布

大海潮dsf

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文章标签：算法机器学习线性代数 matlab

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/dsfdaifeng/article/details/131296946

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文章介绍了牛顿迭代法用于解单个非线性方程和方程组的过程，包括数学推导、例题解析和Java代码示例。泰特公式用于推导迭代过程，通过迭代逼近零点求解。对于方程组，利用雅可比矩阵进行迭代求解，强调了初值选择的重要性。

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简介

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

1.牛顿迭代法解单个非线性方程

1.1 用泰特公式数学推导

迭代逼近零点的真值

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

1.2 例题求解

比如下面的方程组

e^x - y^2 = 0
2x + 5*y^2 =0

消元y后

为 e^x+2/5x=0

就可以用牛顿迭代法解题，当然先要给定或者找出一个自变量范围，然后设定一个初值开始跌代。

笔算

如果初值合适，第二次迭代精确度就足够高了。

1.3 java 代码示例

public static double sqrt(double c) {
 
    if (c < 0) {
        return Double.NaN;
    }
 
    double err = 1e-15;
    double t = c;
 
    while ((Math.exp(t)+0.4*t)/(Math.exp(t)+0.4) > err * t) {
        t = t-(Math.exp(t)+0.4*t)/(Math.exp(t)+0.4)
    }
 
    return t;
}