bzoj4767: 两双手（组合数学+容斥dp）

最新推荐文章于 2023-11-14 14:24:37 发布

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本文介绍了一种解决二维棋盘行走路径计数问题的方法，通过将行走路径转化为新的坐标系，利用容斥原理和动态规划算法求解从起点到终点的路径数，考虑到障碍点的影响。

传送门
题意简述：你要从 $(0, 0)$ 走到 $(e x, e y)$ ，每次可以从 $(x, y)$ 走到 $(x + a x, y + a y)$ 或者 $(x + b x, y + b y)$ ，其中有 $n$ 个障碍点问方案数，所有出现的值的绝对值 $\le500$

思路：从 $(0, 0)$ 到每个障碍点需要用几次 $(x + a x, y + a y)$ 和几次 $(x + b x, y + b y)$ 是可以直接算出来的，我们把这两个算出来的参数看成新的横纵坐标，然后在上面做常规的棋盘问题容斥 $d p$ 即可。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define fi first
#define se second
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans*w;
}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7,N=505;
inline int add(const int&a,const int&b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(const int&a,const int&b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline int mul(const int&a,const int&b){return (ll)a*b%mod;}
int ex,ey,n,ax,ay,bx,by,tot=0,f[N],lim;
vector<int>fac,ifac;
pii p[N],up;
inline pii calc(int x,int y){
	int t1=ax*by-bx*ay,t2=x*by-y*bx,A=-1,B=-1;
	if(t2%t1==0)A=t2/t1;
	t1=bx*ay-ax*by,t2=x*ay-y*ax;
	if(t2%t1==0)B=t2/t1;
	return pii(A,B);
}
inline void init(){
	fac.resize(lim+5),ifac.resize(lim+5);
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
	for(ri i=2;i<=lim;++i)fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=mul(ifac[mod%i],mod-mod/i);
	for(ri i=2;i<=lim;++i)ifac[i]=mul(ifac[i-1],ifac[i]);
}
inline int C(const int&a,const int&b){return a>=b?mul(mul(fac[a],ifac[b]),ifac[a-b]):0;}
int main(){
	ex=read(),ey=read(),n=read(),ax=read(),ay=read(),bx=read(),by=read();
	p[tot=1]=up=calc(ex,ey);
	if(up.fi<0||up.se<0)return puts("0"),0;
	for(ri i=1,x,y;i<=n;++i){
		x=read(),y=read();
		pii tmp=calc(x,y);
		if(tmp.fi>=0&&tmp.se>=0&&tmp.fi<=up.fi&&tmp.se<=up.se)p[++tot]=tmp;
	}
	sort(p+1,p+tot+1),n=unique(p+1,p+tot+1)-p-1;
	for(ri i=1;i<=n;++i)lim=max(lim,p[i].fi+p[i].se);
	init();
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		f[i]=C(p[i].fi+p[i].se,p[i].fi);
		for(ri j=1;j<i;++j)f[i]=dec(f[i],mul(f[j],C(p[i].fi+p[i].se-p[j].fi-p[j].se,p[i].fi-p[j].fi)));
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}