2018.09.19 atcoder Card Game for Three（组合数学）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/dreaming__ldx/article/details/82778499

本文探讨了AtCoder的一款三人卡牌游戏，重点在于利用组合数学解决如何选择A、B、C三类卡牌的问题。文章详细分析了在确保最后一张牌为A的情况下，优化选择策略的方法，并给出了数学公式和转移状态的讨论，同时提供了相关代码实现。

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简单组合数学想优化想了半天啊233。
我们只需考虑翻开n张A，b张B，c张C且最后一张为A的选法数。
显然还剩下 $m + k - b - c$ 张牌没有选。
这样的话无论前 $n + b + c$ 张牌怎么选，方案数会乘上一个 $3^{m+k-b-c}$ 。

继续讨论。

我们应该从前 $n + b + c - 1$ 中选出 $n - 1$ 个A（因为最后一个一定是A）。
剩下的要么是B要么是C。
我们不妨令b+c=i。
那么有：
$ans=\sum( _{i=0} ^{m+k} 3^{m+k-i}\binom {n+i-1} {n-1}\sum _{[b+c=i],b\le m,c\le k}) \binom {i} {b}$
然后发现前面的一坨都不能优化。
只能在最后一部分做文章。
所以如何优化？
发现我们从i变到i+1的过程相当于杨辉三角向下移动一行的情况。
因此讨论一下边界分情况转移就行了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll up,n,m,k;
ll ans=0,fac[N*3],ifac[N*3],mul[N*3];
inline ll calc(int a,int b){return fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod;}
inline ll ksm(ll x,int p){
	ll ret=1;
	while(p){
		if(p&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod,p>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){
	cin>>n>>m>>k,up=n+m+k,fac[0]=mul[0]=ifac[1]=ifac[0]=1;
	for(ll i=2;i<=up;++i)ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
	for(ll i=1;i<=up;++i)mul[i]=mul[i-1]*3%mod,(ifac[i]*=ifac[i-1])%=mod,fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	if(m<k)m^=k,k^=m,m^=k;
	for(ll i=0,j=1;i<=m+k;++i){
		(ans+=calc(n-1+i,n-1)*mul[m+k-i]%mod*j%mod)%=mod;
		if(i<k)(j<<=1)%=mod;
		else if(i>=m)(j+=j-calc(i,k)-calc(i,i-m))%=mod;
		else (j+=j-calc(i,k))%=mod;
	}
	cout<<(ans+mod)%mod;
	return 0;
}