2018.09.17 atcoder Digit Sum(数论)

本文针对一类特殊的数论问题,提出了有效的解题策略。当基数b大于根号n时,通过枚举和数学推导的方式找到了可行解。文章还提供了一段C++实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

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数论好题啊。
首先对于 b &lt; = s q r t ( n ) b&lt;=sqrt(n) b<=sqrt(n)的情况直接枚举b判断一下就行了。
下面谈一谈如何解决 b &gt; s q r t ( n ) b&gt;sqrt(n) b>sqrt(n)的情况。
如果 b &gt; s q r t ( n ) b&gt;sqrt(n) b>sqrt(n)
显然有:
n n n m o d mod mod b b b + + + n / b = s n/b=s n/b=s
n n n m o d mod mod b b b + + + b ∗ ( n / b ) = s b*(n/b)=s b(n/b)=s
这里用的是整除向下取整
我们不妨令 A = n A=n A=n m o d mod mod b b b, B = n / b B=n/b B=n/b
于是就有了下面的式子:
A + B = s A+B=s A+B=s
A + b ∗ B = n A+b*B=n A+bB=n
A , B ≤ s q r t ( n ) A,B\le sqrt(n) A,Bsqrt(n)
由头两个式子可以推出
( b − 1 ) ∗ B = n − s (b-1)*B=n-s (b1)B=ns
于是枚举 b − 1 b-1 b1就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,s,len;
inline bool check(ll x,ll tmp){
	if(tmp==1)return true;
	ll cnt=0;
	while(x)cnt+=x%tmp,x/=tmp;
	return cnt==s;
}
int main(){
	cin>>n>>s,len=(ll)sqrt(n)+1;
	for(ll i=2;i<=len;++i)if(check(n,i)){cout<<i;return 0;}
	if(n<=s){cout<<(n<s?-1:n+1);return 0;}
	ll tmp=n-s,ttmp=tmp/len+1;
	for(int i=ttmp;i;--i)if(tmp%i==0&&s>=i&&s-i<=tmp/i&&i<=tmp/i){cout<<tmp/i+1;return 0;}
	cout<<-1;
	return 0;
}
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