迪杰斯特拉算法dijkstra(单源最短路问题)(贪心)

最新推荐文章于 2024-05-28 16:53:43 发布

逆风微笑的魔法师

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分类专栏：图论文章标签：算法

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本文详细介绍了最短路问题的解决方法，包括Dijkstra算法和Prim算法。Dijkstra算法适用于无负权边的图，对于稠密图采用邻接矩阵，稀疏图使用邻接表，通过贪心策略确定每个节点的最短路径。Prim算法则是寻找最小生成树，每次更新到集合的最短距离。在实现中，可以使用堆优化寻找最近的未确定节点，提高效率。此外，文章强调了建图策略和处理重边的重要性，并提供了相应的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最短路问题（有边权问题，无负权边，无权图就BFS即可 01边权使用双端队列BFS）

难点：抽象建图，如何把题意变为点和边。

无向图也是一种特殊的有向图，算法不变。
如果存在重边，必须保留最短的那条重边。
建图有两种方式，之前的文章已经有提过（建图不用new,耗费时间长）
1. 邻接表：适合稀疏图和树 ( O mlogn)
2. 邻接矩阵：适合稠密图 (O n^2)
3. 选择哪种方式则根据题目给定数据范围推出。
由于dijk算法是基于贪心的算法，因此禁止负权边的出现。

稠密图 On^2： (n超过10万就超时)

问题定义：求从1号点到其他所有点的最短距离
算法思路：（确定->更新）
1. 初始化距离dist[1] = 0; else dist[i] = 0x3f3f3f3f;
2. 集合dist: 当前已经确定的最短的点 (一旦确定，这个点的距离就不会再变)
3. for (i 1~n) On
  1. for(j 1~n) t = 找到一个不在dist中，且距离1号点距离最近的点。On (prim算法这里更新的是到集合的最短距离)
  2. for(j 1~n) 用此点，来更新其他所有点到达1号点的距离 On
4. 每次迭代都可以确定一个点，确定n此即确定所有点的最短距离

代码：

Map[x][y] = Math.min(Map[x][y],z);  //这里一定要保存重边最小
//----------------------------------------------
static int dijkstra(){
    Arrays.fill(dist,0x3f3f3f);  //初始化为到不到的距离。
    dist[1] = 0;
    for(int i =0;i<n;i++){       //On  需要确定n个点。循环n次
        int t = -1;  //这个用于每次都能选择一个没有确定的点。 
        for(int j = 1;j<=n;j++){   //在没确定的点中，找到一个离起点最近的点。
            if(st[j]==false && (t==-1 || dist[t] > dist[j])) t = j; //j还没有确定最短路。
        }
        st[t] = true;//然后这个点确定。dist[t]已经确定
        for(int j =1;j<=n;j++){  //借用此点更新其他点到1号点的距离  On
            //On
            dist[j] = Math.min(dist[j], dist[t] + Map[t][j]);
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f)  return -1; //1 和 n 不连通。
 return dist[n];
}

稀疏图 Omlogn （点多边少邻接表）

问题定义同上
算法思路同上：唯一优化的地方 就是确定离1号点最近的点使用堆来保存。Ologn
可以使用手写堆。也可以使用优先队列。(优先队列不能修改任意值，所以会存在很多冗余，修改一个就会添加一个,但是不影响使用)

代码

  static int dijkstra(){  //必背
      Arrays.fill(dist,0x3f3f3f3f);
      dist[1] = 0;
      PriorityQueue<Pair2> heap = new PriorityQueue<>();
      heap.add(new Pair2(0,1)); //1号点最短距离为0 pair(dist,num)
      while (!heap.isEmpty()){  //堆不空
          Pair2 pair = heap.poll(); //直接拿到堆中 最近的那个点。 
          int t = pair.num;  //提出此点
          int distance = pair.dist;
          if(st[t]==true) continue;  //已经确定了。就算堆里面还剩有也不会用了。 这里是核心。防止死循环。
          st[t] = true;//确定这个点
          for(int i = h[ver];i!=-1;i=NE[i]){  //遍历所有临边包括重边  Om
              int j = E[i];
              if(dist[j] > distance+w[i]){  // 如果到1号点距离变短了
                  dist[j] = distance + w[i];
                  heap.add(new Pair2(dist[j],j));//加就完事，无所谓上面有判断
              }
          }
      }
      if(dist[n]==0x3f3f3f3f)  return -1; //1 和 n 不连通。
      return dist[n];
  }
  class Pair2{
  		int num;  //点的id；
  		int dist; //距离1号点的距离
  }
  ```