积分

连续，则有

柯西指出了任何连续函数必定可积。

 

黎曼给出的可积的充要条件即现在的所谓上和与下和定理：如果在上为有界函数。将任意分为n个子区间，并把在上的最大值与最小值之差定义为在上的振幅，则有界函数在上可积的充要条件是对于的一切选法都有

积分推广到在区间上有定义且有界的函数的积分。

达布还证明了一个有界函数在上可积的充要条件是，的间断点组成一个测度为零的集合。