定积分与不定积分

引言

可能大家看到这个标题会不屑一顾，觉得这个还用你教我吗，高等数学最简单的内容。我今天突然想到一个问题，就是为什么不定积分会有一个常数 $C$ 出现，这个常数 $C$ 代表了什么含义呢？这里我将说说个人的看法。

并且我不知道大家有没有想过一个问题，为什么做不定积分的时候我们需要添加常数项 $C$，而当我们做定积分的时候，常数项 $C$ 就不见了呢？

正文

不定积分

首先，积分很好理解，比如有一个函数 $f\left(x\right)=2x$。其不定积分可以写为：
$$\int 2x\mathrm{d}x=x^2+C\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里为什么要加上常数 $C$ 呢？

理解角度1

根据导数的概念我们知道，常数的导数为 $0$，也就是说，当我们给不定积分加上常数 $C$ 后，我们再做导数，它会回归被积分函数本身。而常数 $C$ 可以是任意值，因此，我们为了表示很多个解的集合形式（通解），我们需要添加常数 $C$。

理解角度2

这里我们来看三个函数：
f ( x ) = x 2 f ( x )