笛卡尔解析几何观点的形成过程

笛卡尔方法论和解析几何的诞生 写于昨天，但遗漏一些碎语，比如说 “解析大法下，一切都是可以算出来的”，我经常对小小讲，充满恶意玄幻的平面几何题目让你证明 AB = EF，你就画出坐标系，把直线方程，焦点坐标全算出来，利用距离公式算 AB 和 EF，最后发现它们的值相等，把结论甩老师脸上。

这就是分析，解析，或直接叫拆解，把问题中涉及到高深莫测的，直觉的东西丢弃，根据条件把问题涉及的每一个点的坐标算出来，问题自然就解决了，而这个计算的过程显然只是一个机械的 “体力活儿”。

这背后是笛卡尔早期就开始形成的哲学观，从这些哲学观到这种解析几何的方法之间，除却昨天文章中的宏大构件间的连接，还有一些细节，即所谓 “碎语”，就是本文，内容参考 《笛卡儿几何》，即昨天文章的 书 1。

• 笛卡尔的目标在于用他的方法建立一个包罗万象的知识框架，该目标包含在他未发表的《论世界》中。
  • 《论世界》的内容阐述了笛卡尔的机械论的哲学观和基本研究方法。在《哲学原理》中，他试图把一切自然现象，包括物理的，化学的，生理的，纳入一种复合逻辑的机械论模式。其历史功绩在于排除了科学中的神学概念和目的论解释。
• 笛卡尔是一位理性实践家，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。
  • 与其任一个学者在他的研究中专凭玄想，无一点结果，他离开常识愈远，他便是觉得一无所得，还不如叫每一个人留心特别关于他自己的事，假使他的判断要是错了，就会有问题来惩罚他，因为一个人如只从事于玄想，即证明他是用很多的心灵与才能来做一种不定的东西。
  • 笛卡尔指出，“我觉得，我在一般人对切身的事所做的推理中，比在一个读书人关在书房里对思辨所做的推理中，可以遇到更多的真理”。实践中如果错了，他的推论导致的后果立刻来惩罚他，而一个读书人所做的关于思辨的推理，将不产生任何结果。
• 综上两点：笛卡尔以怀疑论为先导，以 “无思故我在” 为起点，避免了绝对怀疑论，加之他对实验科学的执着，使他产生了要寻找一种普遍适用的数学的愿望，因为在他看来，所有的研究中，对象都不同，但在一点上是相同的，即它们所研究的只是表现在这些对象中的各种关系或比例。
  • 笛卡尔从直观察知：一切事物自有一种安排，他称之为秩序或度量。据他在《方法谈》中解释，这种 “天然秩序” 就是一切客观彼此之间自然互相联结的秩序；探求事物真理，也就是按照这种秩序，揭示事物的内在规律性。
  • 他提出数学应研究 “一切事物的次序和度量性质”，不管它们 “来自数，图形，星辰，声音或其他任何涉及度量的事物”。数学应该阐明 “有关次序和度量的完整的原理”。
• 综上一点：一切都是可以从第一原因和真理出发，通过运算获得结果。世界是算出来的，这导致了分析的数学而不是综合的数学。
  • 人类早期发展起来的几何，算术和代数，都以其研究对象的直观性存在或构造性存在为基础。
  • 笛卡尔指出古典的，综合的，演绎的数学体系的局限，说它虽 “给出了大量真理”，但无法使人明白 “事情为什么会这样，也没有说明这些真理是如何发现的”。具体工作中，笛卡尔显然更喜欢分析而不是综合。
• 一些趣话
  • 在《探求真理的指导原则》中，笛卡尔写道：“我曾特别注意算术和几何，因为据说它们是最简单的…是达到所有其他知识的通道。不过没有一个作者能使我真正满意…忙忙碌碌地去研究干巴巴的数和虚构的图形，满足于这些小事，使用很肤浅的论证–常常是靠机会而非技巧，靠眼睛而非理解，没有比这更无用的了。在某种意义上它取消了运用人的理性。”
  • 同上著作中，“在帕普斯和丢番图（Diophantus）的著作中，我似乎认出了这种真正的数学的踪迹…… 他们可能想象许多发明家一样…… 害怕他们的方法如此容易和简单，一经泄漏就会丧失身价。因此，他们为赢得人们的赞美，宁肯展示贫乏不毛的真理和能充分表现才智的演绎论证，作为他们这门技艺的成果，而不顾揭开真正使用的方法–它也许会把能获得的赞美化为乌有。”
  • 在《方法论》附录《几何》中，“还有许多其他的方法可用来求出上述同样的根，我已给出的那些非常简单的方法说明，利用我解释过的那四种图形的作法，就可能对通常的几何中的所有问题进行作图。我相信，古代数学家没有注意到这一点，否则他们不会花费那么多的劳动去写那么多的书；正是这些书中的那些命题告诉我们，他们并没有一种求解所有问题的可靠方法，而只是把偶然碰到的命题汇集在一起罢了。”

最后 “一些趣话”，那三段是笛卡尔说的，我不知道是不是由于很早就经常读他的著作而早就被感染却又不自知，我自己也在不断说着类似的话，但我十分清楚地确信，我已经践行了笛卡尔方法论很久。

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