6、非线性与微扰：从KAM理论到分形混沌

非线性与微扰：从KAM理论到分形混沌

1. 超越KAM理论

在研究具有1.5自由度的系统时，也就是在单自由度系统中引入随时间变化的微扰，相关结果可拓展到两自由度系统。KAM理论保证了在小扰动 $\epsilon \to 0$ 且满足非简并条件 $\left|\frac{\partial^2 H_0(I)}{\partial I_k \partial I_{\ell}}\right| \neq 0$ 时，不变环面（曲线）的持续性。

对于一般的哈密顿系统 $H = H_0(I) + \epsilon V(I, \vartheta, t)$，其中 $I$ 是作用向量，$\vartheta$ 是相位向量，$\epsilon$ 是微扰的无量纲参数。当 $N = 1$ 时，非简并条件变为 $\frac{d^2 H_0(I)}{dI^2} = \frac{d\omega(I)}{dI} \neq 0$，这里 $\omega(I) = \frac{dH_0(I)}{dI}$ 是未受扰动运动的非线性频率。这意味着，要应用KAM理论，未受扰动的系统应该是非线性的。

从物理角度看，条件 $\epsilon \to 0$ 意味着 $\epsilon$ 要足够小，即 $\epsilon < \epsilon_0$。然而，条件 $\left|\frac{\partial^2 H_0(I)}{\partial I_k \partial I_{\ell}}\right| \neq 0$ 并没有为无量纲非线性参数 $\alpha = \left|\frac{d\omega}{dI}\right|\frac{I}{\omega}$（$\omega \neq 0$）给出一个临界值 $\alpha_0$。更准确地