如何理解平行移动(Parallel Transport)？

        在微分几何中，当我们说一个向量沿着曲线进行平行移动时，我们指的是在曲线的每一点，这个向量都保持与曲线的切空间相切，并且在传输过程中保持其长度和方向不变。这种移动方式确保了向量在曲线的不同点之间的内在几何属性（如长度和角度）被保持。

        我们给平行移动一个物理上操作的定义：在曲面上曲线 的起点做一个切平面，在切点处将要平行移动的向量 放置于上，然后将  沿着 上的 做纯滚动(没有一点点绕曲面法向量的转动)直到终点 ，得到 在  的切平面。此时上有滚动后得到的以为起点， 为终点的滚动轨迹以及处的向量。最后将在 内平移到，得到  沿着曲线平行移动到  的向量 。

        一般来讲，平面上的滚动轨迹 是一条曲线。但是在某些情况下，可以是一条直线。此时，上的曲线我们就称为的测地线。另外我们注意到此时是一条直线，每一点的切线都是平行于的。这意味着的切向量经过平行移动后仍然是 的切向量，所以测地线又可以定义为：

        若曲面上曲线的切向量沿着在上平行移动后仍然是的切向量，则即为测地线。

谈谈向量在曲面上的平行移动 (1) —— 平行移动与测地线

        

        无论你选择哪个向量进行平行移动，只要你沿着同一条曲线移动，那么这些向量与曲线切向量形成的有向角的变化率将是相同的。这是黎曼流形上平行移动的一个性质，它反映了流形的内在几何特性，特别是与曲线的曲率有关。在物理学中，特别是在广义相对论中，这个概念用来描述在引力场中沿着时空路径移动的矢量如何变化。