11、特殊正交群上的样条插值：贝塞尔曲线与样条的深入解析

特殊正交群上的样条插值：贝塞尔曲线与样条的深入解析

在数学和工程领域，特殊正交群 $SO(n)$ 上的样条插值是一个重要的研究方向。它在计算机图形学、机器人运动规划等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍特殊正交群 $SO(n)$ 上的几何工具、贝塞尔曲线和贝塞尔样条的相关知识。

1. 特殊正交群 $SO(n)$ 的几何工具

特殊正交群 $SO(n)$ 定义为：
$SO(n) = {A \in M_n(\mathbb{R}) | A^T A = I, \det(A) = 1}$
其中，$M_n(\mathbb{R})$ 表示 $n$ 阶实矩阵的集合，$A^T$ 是矩阵 $A$ 的转置，$I$ 是单位矩阵，$\det(A)$ 是矩阵 $A$ 的行列式。

以下是特殊正交群 $SO(n)$ 的一些重要几何结构：
| 名称 | 定义 |
| ---- | ---- |
| 切空间 $T_A SO(n)$ | ${H \in M_n(\mathbb{R}) : AH^T + HA^T = 0}$ |
| 内积 $\langle H_1, H_2 \rangle_A$ | $\text{trace}(H_1^T H_2)$ |
| 测地距离 $d(A_1, A_2)$ | $|\text{Log} {A_1}(A_2)| = |\log(A_1^T A_2)|$ |
| 最短测地线 $\alpha(t, A_1, A_2)$ | $A_1 \exp(t \log(A_1^T A_2))$ |
| 指数映射 $\text{Exp}_A(H)$ | $A \exp(A^T H)$ |
| 对