24、机器人系统的拉格朗日方程及约束系统分析

机器人系统的拉格朗日方程及约束系统分析

1. 拉格朗日方程在机器人系统中的应用

拉格朗日方程在非保守系统中的应用十分广泛，可用于分析许多机械系统。在机器人系统中，我们常关注一些特定类型的系统，如自然系统。

1.1 自然系统的假设与方程推导

对于机械系统，设 (q = {q_1, q_2, \ldots, q_N}^T) 为一组广义坐标。在自然系统中，满足两个基本假设：
- 系统的动能形式为 (T = \frac{1}{2}\dot{q}^TM(q)\dot{q} = \frac{1}{2}\sum_{i,j}\dot{q} im {ij}(q_1, \ldots, q_n)\dot{q}_j)，其中广义惯性或质量矩阵 (M) 是对称的，且是广义坐标的一致正定函数。
- 系统的势能形式为 (V = V(q_1, q_2, \ldots, q_N))。

在这些假设下，机器人系统的运动方程可由非保守系统的拉格朗日方程推导得出。定理表明，拉格朗日方程可写为 (\sum_{j}m_{kj}\ddot{q} j + \sum {i,j}\Gamma_{ijk}\dot{q} i\dot{q}_j + \frac{\partial V}{\partial q_k} = Q_k)，其中 (m {kj}) 是广义质量矩阵的 ((kj)) 项，(Q_k) 是第 (k) 个广义力，(\Gamma_{ijk}) 定义为 (\Gamma_{ijk} := \frac{\partial m_{kj}}{\partial q_i} - \frac{1}{2}\frac{\partial m_{ij}}