48、二分置换图的可重构性研究

二分置换图的可重构性研究

1. 引言

二分置换图在图论领域有着重要的地位，其可重构性问题一直是研究的热点。本文将深入探讨二分置换图的可重构性，通过一系列引理和定理的证明，揭示二分置换图在不同条件下的可重构特性。

2. 基本概念与定理

2.1 定理 2

对于满足假设 1 的连通二分置换图 (G = (X, Y, E))，若 (G) 的每个极顶点度数都大于 1，则 (G) 是可重构的。
这里，我们可以通过分析极顶点的度数变化来理解可重构性。当 (G_i) 是通过移除 (Y_i) 侧的一个顶点得到时，(X_i) 中 (G_i) 的极顶点也是原像的极顶点。所有连通子图中 (X_i) 极顶点的最小度数 (p’) 等于原像极顶点最小度数减 1。并且，在 (X_i) 中具有度数为 (p’) 的极顶点的子图是通过从原像中移除与度数为 (p’) 的极顶点相邻的顶点得到的。因此，我们可以利用引理 12 和 13 唯一地重构原像。

2.2 度数为 1 的极顶点情况

2.2.1 基本引理

• 引理 6 ：设 (P) 是具有至少一个环的连通二分置换图 (G) 的置换图。(P) 同一侧（左侧或右侧）的任意两个分支具有相同的根。
  • 证明 ：若不成立，则 (G) 无法连通。
• 引理 7 ：若连通二分置换图 (G) 有度数为 1 的极顶点，则 (Tr(G)) 是可重构的。
  • 证明 ：设 (G’) 是通过从 (G) 中移除度数为 1 的极顶点得到的子图，显然 (Tr(G’)) 和 (Tr(G)) 同构。设 (G’‘) 是通过移除不是度数为 1 的极顶点得到的连通子图，则 (|V (Tr(G’‘))| < |V (Tr(G))|)。因此，我们可以通过选择顶点数最多的 (Tr(G’)) 来重构 (Tr(G))。

2.2.2 可重构性证明

• 引理 8 ：具有长度大于 1 的分支的连通二分置换图 (G = (X, Y, E)) 是可重构的。
  • 证明 ：设 (L) 是 (G) 的置换图，({G’_1, \ldots, G’_k}) 是满足 (Tr(G’_i) = Tr(G)) 的 (G) 的连通子图的多重集。若有多个具有相同根的分支且长度都大于 1，则 (G) 包含图 2 中的左禁止图，所以同一根的分支中只有一个长度可以大于 1。我们关注两侧长度最大的分支：
    • 若两侧都有长度大于 1 的分支，我们可以从 ({G’_1, \ldots, G’_k}) 中确定两个分支的长度 (p) 和 (q)，从而容易重构 (G)。
    • 若左侧分支长度为 1，右侧分支长度 (q) 大于 1，我们仍能确定原像两侧分支的最大长度为 1 和 (q)。当 (q > 2) 时，找到长度为 (q - 1) 的分支并添加一个度数为 1 的顶点即可重构 (G)；当 (q = 2) 时，({G’_1, \ldots, G’_k}) 中有两侧分支长度都为 1 的子图，我们可以确定原像两个分支的根是否属于同一顶点集，并且存在一个长度为 2 的分支的子图 (G’)，通过向 (G’) 中与该分支相对的一侧添加一个度数为 1 的顶点，可唯一重构 (G)。
    • 若 (G) 只有左侧有分支，找到分支最多的连通子图，向最长的分支（其他分支长度为 1）添加一个度数为 1 的顶点，即可重构 (G)。
• 引理 9 ：具有两个不同根的分支的二分置换图 (G = (X, Y, E)) 是可重构的。
  • 证明 ：由引理 8 可知，我们只需证明每个分支长度都为 1 的情况。在这种情况下，我们可以通过重构 ({|X|, |Y|}) 来确定两个根是否属于同一顶点集，从而唯一重构 (G)。
• 引理 10 ：分支具有相同根的二分置换图 (G = (X, Y, E)) 是可重构的。
  • 证明 ：
    • 若有多个分支，找到满足 (Tr(G’) = Tr(G)) 的连通子图 (G’)，在 (G’) 中找到一个分支并向其根添加一个度数为 1 的顶点，即可重构 (G)。
    • 若 (G) 只有一个长度为 1 的分支，假设该分支在 (L) 的左侧，右侧两个极顶点度数为 (p) 和 (q) 且大于 1。
      • 若 (p) 和 (q) 都大于 2，根据连通子图中极顶点度数的变化，我们可以重构 (G)。
      • 若 (p = 2) 且 (q = 2)，存在一个连通子图，其同一侧极顶点度数为 1 和 2，由于 (G) 的分支长度为 1，这些极顶点不是 (G) 度数为 1 的顶点，因此可以唯一重构 (G)。
      • 若 (p = 2) 且 (q > 2)，通过观察移除度数大于 1 的顶点得到的连通子图 ({G’_1, \ldots, G’_k})，我们可以确定 (p) 和 (q) 的值，从而唯一重构 (G)。

2.3 定理 3

具有度数为 1 的极顶点的连通二分置换图是可重构的。这是基于上述一系列引理的证明得出的结论。

3. 杂项证明

3.1 引理 11

连通二分置换图 (G = (X, Y, E)) 中 (X) 和 (Y) 的顶点数是可重构的。
设 (D) 是 (G) 的子图集合，对于具有多于两个顶点的连通图，其集合中至少有两个连通子图 (G_1 = (X_1, Y_1, E_1), G_2 = (X_2, Y_2, E_2), \ldots, G_k = (X_k, Y_k, E_k))，可能出现以下情况：
- 情况 1 ：对于某些 (i \in {1, \ldots, k})，({|X_i|, |Y_i|} = {p_1, q_1})，对于其他 (i \in {1, \ldots, k})，({|X_i|, |Y_i|} = {p_2, q_2})，且 ({p_1, q_1} \neq {p_2, q_2})。此时，(\max{p_1, p_2, q_1, q_2}) 等于 (\max{|X|, |Y|})，(\min{p_1, q_1, p_2, q_2}) 等于 (\min{|X|, |Y|} - 1)，因此可以容易地重构 ({|X|, |Y|})。
- 情况 2 ：对于每个 (i \in {1, \ldots, k})，({|X_i|, |Y_i|}) 是相同的集合 ({p, q})。这种情况又分为两个子情况：
- 情况 2a ：(|X| = |Y|)，此时 (\max{p, q} = \min{p, q} + 1 = |X| = |Y|)。若能区分情况 2a 和情况 2b，我们就能确定 ({|X|, |Y|})。
- 情况 2b ：每个连通子图是通过从一个顶点集移除一个顶点得到的。设 (T) 是 (G) 的生成树，由于移除 (T) 的叶子节点得到的图是连通的，所以 (T) 的所有叶子节点属于同一顶点集 (X) 或 (Y)，不妨设为 (X)，则 (|X| > |Y|)，({|X|, |Y|}) 为 ({\max{p, q} + 1, \min{p, q}})。

区分情况 2a 和情况 2b 的方法如下：在情况 2a 中，(|p - q| = 1) 总是成立。当在情况 2b 中 (|p - q| = 1) 时，(|X| = |Y| + 2) 必须成立。设 (L) 是 (G) 的置换图，(x_l) 和 (x_r) 是 (X) 中对应 (L) 最左侧和最右侧线段的极顶点，(P) 是 (G) 中从 (x_l) 到 (x_r) 的最短路径，(y_l) 和 (y_r) 分别是 (P) 中与 (x_l) 和 (x_r) 相邻的顶点。由于 (Y) 中的每个顶点都是 (G) 的割点，从 (x_l) 到 (x_r) 的每条路径都经过 (Y) 中的顶点，所以 (Y) 中的所有顶点都在 (P) 中，因此 (P) 中有 (|Y| + 1) 个 (X) 顶点。由于 (|X| = |Y| + 2)，所以 (P) 外只有一个顶点。因此，(y_l) 和 (y_r) 中至少有一个在 (G) 中的度数为 2。假设 (y_l) 度数为 2，移除 (y_l) 会得到两个连通图，一个只有一个顶点 (x_l)，另一个是由 (X \cup Y \setminus {x_l, y_l}) 诱导的二分图，两个顶点集的顶点数差为 2。而在情况 2a 中，若有由一个孤立顶点和一个连通分量组成的子图，连通分量的每个顶点集的大小必须相同。因此，我们可以区分这两种情况。

3.2 引理 12

给定满足假设 1 的连通二分置换图 (G = (X, Y, E))，设 (x) 是 (X) 中的极顶点，(Y’) 是与 (x) 相邻的顶点集。顶点 (y \in Y’) 是 (G) 的极顶点当且仅当 (y) 的度数是 (Y’) 中的最小值。
设 (L) 是表示 (G) 的置换图，由于 (x) 是 (G) 的极顶点，不妨设 (L) 中上端最左侧的线段对应 (x)，则 (X \setminus {x}) 中所有顶点对应的线段都在 (x) 对应线段的右侧。设 (y^ ) 是 (Y’) 中的极顶点，由于 (G) 满足假设 1，(L) 中对应 (y^ ) 的线段是 (Y’) 中所有顶点对应线段中最左侧的，因此 (y^*) 的度数是 (Y’) 中顶点的最小值。

3.3 引理 13

设 (G’ = (X’, Y’, E’)) 是连通二分置换图，(x) 是 (X’) 中的极顶点。在 (G) 是二分置换图、(y) 是 (G) 的极顶点且 (y) 与 (x) 在 (G) 中相邻的条件下，通过向 (Y’) 添加度数为 (k \in {1, \ldots, |X’|}) 的顶点 (y) 得到的图 (G = (X, Y, E)) 是唯一确定的。
设 (L’) 是表示 (G’) 的置换图，(L) 是表示 (G) 的置换图，显然 (L) 可以通过向 (L’) 添加对应 (y) 的线段 (s_y) 得到。由于 (x) 是 (G’) 的极顶点，不妨设 (L’) 和 (L) 中对应 (x) 的线段 (s_x) 是 (X) 中所有顶点对应线段中最左侧的，且 (s_x) 的上端是所有线段中最左侧的。由于 (y) 是 (G) 中的极顶点，(L) 中对应 (y) 的线段 (s_y) 是 (Y) 中所有顶点对应线段中最左侧的，即 (s_y) 的下端是所有线段中最左侧的。由于 (s_y) 必须与 (X) 中恰好 (k) 条线段相交，我们可以唯一确定 (s_y) 上端的位置。

3.4 引理 14

对于满足假设 1 的连通二分置换图 (G = (X, Y, E))，度数为 1 的极顶点的数量是可重构的。
若 (G) 的极顶点 (v) 度数为 1，则与 (v) 相邻的极顶点度数大于 1，否则 (G) 不连通。当我们从 (G) 中移除与另一个度数为 1 的极顶点相邻的极顶点时，会得到一个由一些孤立顶点和一个连通分量组成的图。反之，若 (G) 的子图集合中有由一些孤立顶点和一个连通分量组成的图，则该图一定是通过从某个原像中移除与度数为 1 的极顶点相邻的极顶点得到的，否则至少会有两个连通分量。因此，度数为 1 的极顶点的数量等于由一些孤立顶点和一个连通分量组成的子图的数量。

4. 总结

通过定理 2 和定理 3 的结合，我们得到了主要定理：二分置换图是可重构的。需要注意的是，由于不连通图也是可重构的，所以不连通的二分置换图当然也是可重构的。

下面我们用 mermaid 流程图来总结二分置换图可重构性的判断流程：

graph TD;
    A[二分置换图 G] --> B{极顶点度数都>1?};
    B -- 是 --> C[可重构（定理 2）];
    B -- 否 --> D{有度数为 1 的极顶点};
    D -- 是 --> E{分支情况};
    E -- 有长度>1的分支 --> F[可重构（引理 8）];
    E -- 有两个不同根的分支 --> G[可重构（引理 9）];
    E -- 分支有相同根 --> H[可重构（引理 10）];
    D -- 否 --> I[其他情况];

同时，我们用表格来总结不同引理和定理的关键信息：
| 引理/定理 | 条件 | 结论 |
| — | — | — |
| 定理 2 | 连通二分置换图 (G)，每个极顶点度数 > 1，满足假设 1 | (G) 可重构 |
| 引理 6 | 具有至少一个环的连通二分置换图 (G) 的置换图 (P) | (P) 同一侧分支有相同根 |
| 引理 7 | 连通二分置换图 (G) 有度数为 1 的极顶点 | (Tr(G)) 可重构 |
| 引理 8 | 连通二分置换图 (G) 有长度 > 1 的分支 | (G) 可重构 |
| 引理 9 | 二分置换图 (G) 有两个不同根的分支 | (G) 可重构 |
| 引理 10 | 二分置换图 (G) 分支有相同根 | (G) 可重构 |
| 定理 3 | 连通二分置换图有度数为 1 的极顶点 | (G) 可重构 |
| 引理 11 | 连通二分置换图 (G) | (|X|) 和 (|Y|) 可重构 |
| 引理 12 | 满足假设 1 的连通二分置换图 (G)，(x) 是 (X) 极顶点，(Y’) 是相邻顶点集 | (y \in Y’) 是极顶点当且仅当度数最小 |
| 引理 13 | (G’) 是连通二分置换图，(x) 是 (X’) 极顶点 | 添加顶点 (y) 得到的 (G) 唯一确定 |
| 引理 14 | 满足假设 1 的连通二分置换图 (G) | 度数为 1 的极顶点数量可重构 |

通过以上的分析和证明，我们全面地阐述了二分置换图的可重构性，为图论领域的相关研究提供了重要的理论支持。

5. 实际应用与意义

二分置换图的可重构性在多个领域有着广泛的实际应用，下面我们来详细探讨。

5.1 网络拓扑结构分析

在计算机网络中，网络的拓扑结构可以用图来表示。二分置换图的可重构性可以帮助我们从部分已知的网络连接信息中，重构出完整的网络拓扑结构。例如，在一个大型的数据中心网络中，由于某些节点或链路可能出现故障或暂时不可用，我们只能获取到部分网络连接信息。通过利用二分置换图的可重构性，我们可以根据这些部分信息重构出整个网络的拓扑结构，从而更好地进行网络管理和故障排查。

5.2 生物信息学

在生物信息学中，蛋白质 - 蛋白质相互作用网络可以用图来表示。二分置换图的可重构性可以帮助我们从部分已知的蛋白质相互作用信息中，重构出完整的蛋白质相互作用网络。这对于理解生物系统的功能和机制具有重要意义。例如，在研究某种疾病的发病机制时，我们可能只能获取到部分蛋白质之间的相互作用信息。通过利用二分置换图的可重构性，我们可以重构出完整的蛋白质相互作用网络，从而发现潜在的治疗靶点。

5.3 社交网络分析

在社交网络中，用户之间的关系可以用图来表示。二分置换图的可重构性可以帮助我们从部分已知的用户关系信息中，重构出完整的社交网络结构。这对于社交网络的分析和应用具有重要意义。例如，在进行社交网络营销时，我们可能只能获取到部分用户之间的关系信息。通过利用二分置换图的可重构性，我们可以重构出完整的社交网络结构，从而更好地进行精准营销。

6. 操作步骤总结

6.1 重构二分置换图的一般步骤

1. 判断极顶点度数情况 ：首先判断二分置换图 (G) 的极顶点度数是否都大于 1。
   • 如果是，则根据定理 2 可知 (G) 可重构。
   • 如果否，则判断 (G) 是否有度数为 1 的极顶点。
2. 处理有度数为 1 的极顶点情况 ：
   • 判断分支情况 ：
     • 如果有长度大于 1 的分支，根据引理 8 进行重构。
     • 如果有两个不同根的分支，根据引理 9 进行重构。
     • 如果分支有相同根，根据引理 10 进行重构。
3. 重构 (|X|) 和 (|Y|) ：根据引理 11 重构二分置换图 (G) 中 (X) 和 (Y) 的顶点数。
4. 确定极顶点信息 ：
   • 根据引理 12 确定 (Y’) 中极顶点的信息。
   • 根据引理 13 确定添加顶点后图的唯一性。
   • 根据引理 14 确定度数为 1 的极顶点的数量。

6.2 区分情况 2a 和情况 2b 的具体步骤

1. 计算 (|p - q|) ：对于情况 2 中每个 (i \in {1, \ldots, k})，({|X_i|, |Y_i|}) 是相同的集合 ({p, q})，计算 (|p - q|)。
2. 判断 (|p - q| = 1) 的情况 ：
   • 如果 (|p - q| \neq 1)，则可以直接区分情况 2a 和情况 2b。
   • 如果 (|p - q| = 1)，则需要进一步分析。
3. 分析图的结构 ：设 (L) 是 (G) 的置换图，找到 (X) 中对应 (L) 最左侧和最右侧线段的极顶点 (x_l) 和 (x_r)，以及 (G) 中从 (x_l) 到 (x_r) 的最短路径 (P)，和 (P) 中与 (x_l) 和 (x_r) 相邻的顶点 (y_l) 和 (y_r)。
4. 判断顶点度数 ：由于 (|X| = |Y| + 2) 时，(y_l) 和 (y_r) 中至少有一个在 (G) 中的度数为 2。假设 (y_l) 度数为 2，移除 (y_l) 会得到两个连通图，一个只有一个顶点 (x_l)，另一个是由 (X \cup Y \setminus {x_l, y_l}) 诱导的二分图，两个顶点集的顶点数差为 2。而在情况 2a 中，若有由一个孤立顶点和一个连通分量组成的子图，连通分量的每个顶点集的大小必须相同。根据这些特征区分情况 2a 和情况 2b。

7. 总结与展望

7.1 总结

本文深入探讨了二分置换图的可重构性问题，通过一系列引理和定理的证明，得出了二分置换图是可重构的结论。同时，我们还介绍了二分置换图可重构性在网络拓扑结构分析、生物信息学和社交网络分析等领域的实际应用，并总结了重构二分置换图的一般步骤和区分不同情况的具体步骤。

7.2 展望

虽然我们已经证明了二分置换图的可重构性，但在实际应用中，还存在一些问题需要进一步研究。例如，如何提高重构算法的效率，如何处理大规模的二分置换图等。未来的研究可以围绕这些问题展开，以推动二分置换图可重构性的实际应用。

下面我们用 mermaid 流程图来总结重构二分置换图的一般步骤：

graph TD;
    A[二分置换图 G] --> B{极顶点度数都>1?};
    B -- 是 --> C[可重构（定理 2）];
    B -- 否 --> D{有度数为 1 的极顶点};
    D -- 是 --> E{分支情况};
    E -- 有长度>1的分支 --> F[按引理 8 重构];
    E -- 有两个不同根的分支 --> G[按引理 9 重构];
    E -- 分支有相同根 --> H[按引理 10 重构];
    D -- 否 --> I[其他情况];
    J[重构 |X| 和 |Y|（引理 11）] --> K[确定极顶点信息（引理 12 - 14）];
    F --> K;
    G --> K;
    H --> K;
    C --> K;

同时，我们用表格来总结重构二分置换图的关键步骤：
| 步骤 | 操作 | 依据 |
| — | — | — |
| 1 | 判断极顶点度数情况 | 定理 2 |
| 2 | 处理有度数为 1 的极顶点情况 | 引理 8 - 10 |
| 3 | 重构 (|X|) 和 (|Y|) | 引理 11 |
| 4 | 确定极顶点信息 | 引理 12 - 14 |

通过以上的分析和总结，我们对二分置换图的可重构性有了更深入的理解，为其在实际应用中的推广和应用提供了有力的支持。