4、符号化OBDD算法在图问题中的应用与复杂度分析

符号化OBDD算法在图问题中的应用与复杂度分析

1. 布尔函数运算基础

在处理布尔函数时，有两个重要的操作：合成（Synthesis）和量化（Quantification）。
- 合成 ：给定两个π - OBDD (G_f) 和 (G_g) ，以及一个二元布尔运算符 (\otimes\in B_2) ，可以计算出函数 (h := f \otimes g) 的π - OBDD (G_h) 。这个计算过程在时间和空间上的复杂度为 (O(|G_f|·|G_g|)) ，并且 (G_h) 的大小上限为 (O(|G_f| · |G_g|)) 。
- 量化 ：给定 (G_f) 、一个索引 (i \in {1, \ldots, n}) 和一个量词 (Q \in {\exists, \forall}) ，可以计算出函数 (h := (Qx_i)f) 的π - OBDD (G_h) ，其中 ((\exists x_i)f := f| {x_i = 0} \vee f| {x_i = 1}) ， ((\forall x_i)f := f| {x_i = 0} \wedge f| {x_i = 1}) 。 (G_h) 的计算可以通过两次常量替换和一次合成操作实现，时间和空间复杂度为 (O(|G_f|^2)) 。

2. 基于符号化OBDD的图表示

对于一个有 (N) 个顶点 (v_0, \ldots, v_{N - 1}) 的图 (G = (V, E)) ，其边集 (E) 可以用OBDD来表示其特征函数。
- 无权重图