16、傅里叶分析技术：从基础到应用

傅里叶分析技术：从基础到应用

1. 引言

傅里叶分析技术在众多领域都有广泛应用，如医学成像、通信系统、图像处理等。在医学磁共振成像（MRI）中，傅里叶变换技术用于处理采集到的数据，生成人体内部结构的详细图像。在通信系统中，它有助于理解和处理信号的频率成分，如调幅（AM）和调频（FM）。下面我们将深入探讨傅里叶级数和傅里叶变换的相关知识。

2. 傅里叶级数

2.1 周期函数与傅里叶级数表示

周期函数满足 (f(t) = f(t + nT_0))，其中 (n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots)，(T_0) 为周期。一个周期函数可以用三角傅里叶级数或指数傅里叶级数表示。
- 三角傅里叶级数 ：(f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \cos(n\omega_0t + \theta_n))，其中 (\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0})，(a_0) 是波形的平均值。
- 指数傅里叶级数 ：(f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0t})，系数 (c_n) 通过以下公式计算：(c_n = \frac{1}{T_0} \int_{t_1}^{t_1 + T_0} f(t) e^{-jn\omega_0t} dt)。

2.2 指数傅里叶级数示例

考虑一个周期电压波形，通过对一个完整周期进行积分来确定傅里叶系数 (c_n)。对于该波形，当 (n) 为偶数时，(c_n = 0)；当 (n