泰勒多项式

1.理解导数

• 导数可以理解为 空间中一个点 上的变化方向，或者说是斜率。

  • 点 对应到现实世界，可以认为是某一时刻或者某一瞬间的 速度（位置关于时间的一阶导）， 或者某一瞬间的加速度 （位置关于时间的二阶导）

• 可以这么理解，空间中某个点的一阶导数可以理解为这个点在空间中的变化方向，二阶导则为这个点变化方向的变化方向，三阶导则为这个点变化方向的变化方向的变化方向

2.泰勒公式的理解

• 泰勒多项式是将一个函数 $f(x)$ 在某一点 $a$ 处展开为多项式形式：
  $$P_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$
• 为了方便理解将其写成下面的形式
  $$P_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+f^{\prime \prime }(a)\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x-a{)}^n}{n!}$$
  
• 如上图所示，泰勒多项式可以看做上面两部分；导数部分 和 红框所示的部分， 其中 导数部分 可以理解为泰勒展开点在空间中的变化方向，红框 所示的部分可以看做一个系数，用于决定各阶导的 重要程度。
• 距离展开点越近 也就是 $x-a$ 越小, 随着阶数的增长，分母越来越大，分子越来越小，其整体是趋近越来越小的，所以展开点附近的点，主要是由低阶导决定的
• 距离展开点越远 也就是 $x-a$ 越大，随着阶数的增长，分子越来越大（指数增长），分母虽然也越来越大，但增长趋势远远不如分子的，所以整体值是越来越大的，所以距离展开点越远的点，其受高阶导的影响越大。
• 总结：在展开点附近的点，其受低阶导的影响较大，距离展开点越远，受高阶导的影响越大。

3.举例

如下图所示，红色部分为一个正弦函数，蓝色部分为在零点处展开的 泰勒多项式 随着阶数的增加，在距离较远的点上也能很好的逼近,而阶数较小时只有附近的点是可用的。
$$y=\sin (x)$$
$$y=\sum _{n=0}^a\frac{(-1{)}^n{x}^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$$

• 一阶($a=0$)
  
• 三阶($a=2$)
  
• 五阶($a=4$)
  
• 九阶($a=8$)