Math Reference Notes: 泰勒多项式

1. 泰勒多项式的定义

对于一个在 $x=a$ 处可导的函数 $f(x)$，它的泰勒多项式可以表示为：

$$T_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

其中：

• $T_n(x)$：泰勒多项式，表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的多项式近似。
• $f(a)$：函数在点 $a$ 处的值。
• $f^{\prime }(a),f^{\prime \prime }(a),\dots ,f^{(n)}(a)$：函数在 $a$ 处的各阶导数。
• $n!$：阶乘，表示 $n$ 的阶乘。
• $x-a$：$x$ 偏离点 $a$ 的距离。

2. 几何解释

泰勒多项式给出了函数在 $x=a$ 附近的局部逼近。其几何意义可以分解为：

• $f(a)$：常数项，表示函数在 $x=a$ 处的值。
• $f^{\prime }(a)(x-a)$：线性项，表示函数在 $x=a$ 附近的变化率，即切线的斜率。
• $\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2$：二次项，表示函数在 $x=a$ 附近的弯曲程度（曲率）。
• 更高阶项进一步描述函数更复杂的局部变化。

3. 泰勒多项式的阶数

泰勒多项式可以截断在不同的阶数上，根据需要逼近的精度，决定使用多少阶项。阶数越高，近似越精确。

• 零阶泰勒多项式（常数函数）：

  $$T_0(x)=f(a)$$

  它只考虑了函数在 $x=a$ 处的函数值，没有考虑任何变化。

• 一阶泰勒多项式（线性逼近）：

  $$T_1(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$$

  它将函数在 $x=a$ 处用一条切线来近似，体现了函数的变化率。

• 二阶泰勒多项式（抛物线逼近）：

  $$T_2(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2$$

  它在一阶近似的基础上，增加了二阶导数，描述了函数的弯曲。

• n阶泰勒多项式：

  $$T_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

  随着阶数增加，多项式会越来越精确地描述函数在 $x=a$ 附近的行为。

4. 泰勒级数

当 $n\to \infty$ 时，泰勒多项式的极限称为泰勒级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

如果这个级数在某个区间内收敛且等于 $f(x)$，那么该级数就是函数 $f(x)$ 的泰勒级数。

• 如果级数是在 $a=0$ 处展开，则称为 麦克劳林级数：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\dots$$

5. 利用综合除法辅助理解泰勒多项式

利用综合除法证明泰勒多项式的过程，实际上是通过将多项式函数 $f(x)$ 分解为 $x-a$ 的幂次项，并与泰勒多项式的形式相对应。具体来说，综合除法可以帮助我们分解函数，从而逐步得到每一个阶导数及其对应的系数。

假设我们要将某个多项式 $f(x)$ 按 $(x-a)$ 展开成泰勒多项式。我们知道：

1. 多项式在 $x=a$ 处的值是 $f(a)$。
2. 通过对 $f(x)$ 进行除法操作，我们可以得到多项式被 $(x-a)$ 除后留下的余数。

使用综合除法时，我们可以得到：

1. 商是多项式的低阶项。
2. 余数则可以看作是高阶余项的一部分。

如果综合除法得到的余数为零，则表示 $f(x)$ 在 $a$ 处是可以被 $(x-a)$ 完全整除的，意味着多项式在该点没有更多的非零高阶项。由此，可以结合这些低阶项推导出泰勒多项式中的部分项。

假设我们要将某个多项式 $f(x)$ 按 $(x-a)$ 展开为泰勒多项式，过程如下：

1. 多项式的基本形式

   假设我们有一个多项式函数 $f(x)=x^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$，我们需要求它在 $x=a$ 处的泰勒展开式。

2. 综合除法的应用

   综合除法是一种快速计算多项式除以一次因式 $(x-a)$ 的方法。通过综合除法，可以逐步计算每一阶导数的系数。

   例子：$f(x)=x^3$ 在 $x=a$ 处

   1. 列出多项式的系数：[1, 0, 0, 0]（表示 $x^3$）。
   2. 使用综合除法将其除以 $(x-a)$：

   1		0   	0	   0    |_a_
   		a	   a^2	  a^3
   —————————————————————————————————
   1   	a	   a^2   |a^3  
   		a	   2a^2
   —————————————————————————————————
   1  		2a	  |3a^2	
   		a
   1	   |3a
   

   通过此过程，我们得到的泰勒多项式为：

   $$f(x)=a^3+3a^2(x-a)+3a(x-a{)}^2+(x-a{)}^3$$

   其中：

   • $a^3$ 是 $f(a)$ 的值。
   • $3a^2(x-a)$ 是 $f^{\prime }(a)(x-a)$，即函数的导数与 $(x-a)$ 的乘积。
   • $3a(x-a{)}^2$ 是二阶导数的项 $\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2$。
   • $(x-a{)}^3$ 对应的是三阶导数的项。

3. 一般情况：任意多项式的综合除法与泰勒多项式

   对于任意多项式 $f(x)=x^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$，我们可以通过综合除法逐项分解为 $(x-a)$ 的幂次项，从而得出每一阶导数的系数。

   • 综合除法的商项的第一个系数对应 $f^{\prime }(a)$；
   • 第二个系数对应 $\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}$；
   • 第三个系数对应 $\frac{f^{(3)}(a)}{3!}$；
   • 以此类推。

通过综合除法，我们可以逐步得到泰勒多项式的各阶导数系数，从而证明泰勒多项式的正确性。