DP系列2【01背包】洛谷 P1049 [NOIP 2001 普及组] 装箱问题题解

题目描述

有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积。

现在从 n 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 V，表示箱子容量。

第二行共一个整数 n，表示物品总数。

接下来 n 行，每行有一个正整数，表示第 i 个物品的体积。

输出格式

• 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

输入输出样例

输入 #1

24
6
8
3
12
7
9
7

输出 #1

0

说明/提示

对于 100% 数据，满足 0<n≤30，1≤V≤20000。

一、题目概述

在洛谷 P1049 这道题中，给定一个箱子的容量 ​V，以及 ​n 个物品，每个物品都有各自的体积。我们的任务是将这些物品放入箱子中，使得箱子的剩余空间最小。这是一道经典的动态规划类型题目，非常适合用来加深对动态规划（DP）和背包问题相关知识的理解与应用。

二、解题思路分析

2.1 理解问题本质

首先，我们要明确目标是让箱子剩余空间最小，这等价于在箱子容量限制下，尽可能多地装入物品，也就是要最大化装入物品的总体积。

2.2 动态规划思想运用​

我们采用动态规划方法来解决此问题。定义一个一维数组 ​dp，其中 dp[i]表示当箱子容量为 ​i时，能够装入物品的最大体积。

2.3 状态转移方程推导​

对于每个物品，我们都面临两种选择：放入当前物品或者不放入当前物品。假设当前考虑的物品体积为 ​wj​（​j表示物品的序号），那么状态转移方程可以表示为：​dp[i]=max(dp[