CSP-J系列【2023】P9748 [CSP-J 2023] 小苹果题解

最新推荐文章于 2025-07-28 17:30:49 发布

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#算法

题目描述

小 Y 的桌子上放着 n 个苹果从左到右排成一列，编号为从 1 到 n。

小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。

每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 1 个苹果开始、每隔 2 个苹果拿走 1 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 n 的苹果是在第几天被拿走的？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 n，表示苹果的总数。

输出格式

输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 n 的苹果是在第几天。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

5 5

说明/提示

【样例 1 解释】

小苞的桌上一共放了 8 个苹果。
小苞第一天拿走了编号为 1、4、7 的苹果。
小苞第二天拿走了编号为 2、6 的苹果。
小苞第三天拿走了编号为 3 的苹果。
小苞第四天拿走了编号为 5 的苹果。
小苞第五天拿走了编号为 8 的苹果。

【样例 2】

见选手目录下的 apple/apple2.in 与 apple/apple2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：1≤n≤109。

测试点	n≤	特殊性质
1∼2	10	无
3∼5	103	无
6∼7	106	有
8∼9	106	无
10	109	无

特殊性质：小苞第一天就取走编号为 n 的苹果。

题目解释

给定编号1-n的苹果排成一列，每天从最左侧开始，每隔2个苹果取走1个（即取走第1,4,7,...个）。需要回答：

第n个苹果在第几天被取走

总共取走了多少个苹果

示例分析

输入n=8时：

第1天取走1,4,7号 → 剩余2,3,5,6,8
第2天取走2,5,8号 → 8号被取走
第3天取走3,6号输出：8号第2天被取走，共取走7个

解法一：直接模拟法

核心思想

用动态数组实时维护苹果序列，通过循环模拟每天取苹果的过程

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogn)
空间复杂度：O(n)

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<bool> apples(n, true);
    int days = 0, special_day = -1, total = 0;
    
    while (true) {
        bool has_apple = false;
        vector<int> to_remove;
        for (int i = 0; i < n; i += 3) {
            if (apples[i]) {
                to_remove.push_back(i);
                if (i == n - 1 && special_day == -1) {
                    special_day = days + 1;
                }
            }
        }
        if (to_remove.empty()) break;
        
        days++;
        total += to_remove.size();
        for (int idx : to_remove) {
            apples[idx] = false;
        }
    }
    cout << days << " " << special_day;
    return 0;
}

解法二：数学规律法

核心发现

每天剩余的苹果数构成递推关系：remain = remain - ceil(remain/3)
第n个苹果的位置变化遵循：pos = pos - (pos+2)/3

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)

优化实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int days = 0, special_day = 0, remaining = n;
    int pos = n - 1; // 转换为0-based索引
    
    while (remaining > 0) {
        days++;
        int remove_cnt = (remaining + 2) / 3;
        if (pos % 3 == 0 && special_day == 0) {
            special_day = days;
        }
        remaining -= remove_cnt;
        pos -= (pos + 2) / 3; // 更新位置
    }
    cout << days << " " << special_day;
    return 0;
}

算法对比

维度	模拟法	数学法
时间复杂度	O(nlogn)	O(logn)
空间复杂度	O(n)	O(1)
适用场景	n≤1e6	n≤1e18
优势	直观易理解	高效精确

数学证明

设f(k)为第k天剩余苹果数：

递推式：f(k) = f(k-1) - ⌈f(k-1)/3⌉
当f(k-1)≡1 mod 3时：f(k)=2f(k-1)/3
收敛速度：约log_{1.5}n天

算法总结报告

一、问题本质分析

该问题考察循环取余和数学建模能力，核心在于：

周期性取数规律（每3取1）
数列递推关系（剩余苹果数呈2/3递减）
特殊位置判定（第n个苹果的位置变化）

二、解法对比

维度	模拟法	数学推导法
时间复杂度	O(nlogn)	O(logn)
空间复杂度	O(n)	O(1)
适用数据规模	n ≤ 10⁶	n ≤ 10¹⁸
代码复杂度	简单直观	需要数学推导
调试难度	易调试	需要验证数学正确性