DP系列1【线性DP】洛谷P1115最大子段和题解

题目描述

给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 n。

第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai​。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

输出

4

数据规模与约定

• 对于 40% 的数据，保证 n≤2×103。
• 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤2×105，−104≤ai​≤104。

思路

既然是dp，我们需要设计一个状态。及dp[i]表示以a[i]为结尾的最大字段和。设计完了，我们来分析可行性。
 

原数组	2	-4	3	-1	2	-4	3
dp数组	2	-2	3	2	4	0	3

最后我们发现里面的最大值是4，符合我们题目的输出。

设计完了我们来思考dp[i]从哪来，我们需要逐个分析

dp[1]:

原数组	2	-4	3	-1	2	-4	3
dp数组	2

以2为结尾的字段和只有一段，所以dp[1] = 2

dp[2]:

原数组	2	-4	3	-1	2	-4	3
dp数组	2	-2

以-4为结尾的字段和有 （1：2 ，-4 ）  （2：，-4），我们选择 （1：2，-4） 和为 -2

dp[3]:

原数组	2	-4	3	-1	2	-4	3
dp数组	2	-2	3

以3为结尾的有三段分别是：（1：2，-4，3）和为1，（2：-4，3）和为-1，（3：3）和为3

所以dp[3] = 3

经过前三个的总结我们发现如果的dp[i-1]>a[i],前面的最长字段和大于我们的数，dp[i] = dp[i-1] + a[i],如果dp[i]<a[i] 我们就选择自己本身，dp[i] = a[i]

整合一下：状态转移方程式为 

dp[i] = max(dp[i]+a[i],a[i]);

最后我们再遍历整个dp数组，最大值就是答案；

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 2e5+10;
ll a[N],f[N];
ll n;
void solve(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
	}
	ll ans = INT_MIN;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		f[i] = max(f[i-1] + a[i],a[i]);	
		ans = max(ans,f[i]);
	}
	cout<<ans;
	return ;
}
int main()
{
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	int N = 1;
	while(N--) solve();
	return 0;
}

总结：

这是一道dp的模板题，关键点在于如何如何找到动态转移方程式。适合新手练习dp