OpenGL坐标系变换详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ryfdizuo/article/details/6287637

前提：opengl使用右手坐标系，向量列向量，所有矩阵变换均是右乘的形式。

V4*1 =M4*4 * V4*1

参加之前的一篇blog：http://blog.youkuaiyun.com/dizuo/archive/2008/04/17/2302364.aspx

一、理论

父坐标系：

(x,y,z)^T是父坐标系中任意一点，三个坐标基: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)。

孩子坐标系：

原点在父坐标系的坐标为：P = (Px,Py,Pz)^T ，三个坐标基为Right，Up，Look，缩写为：R,U,L, (x',y',z')^T点是孩子坐标系中的任意一点。

1）公式的数学推导

将孩子坐标系的(x',y',z')^T点转化到父坐标系中：

笔误：

转化到齐次坐标系以后，应该还是1*4的行向量左乘以4*4的变换矩阵。上图底部最后两部应该是(x,y,z,1) 乘矩阵。。
最后一个等式 44矩阵第一列的前三行应该分别是Rx, Ry, Rz

下面是转化成齐次坐标后的结果：

上面推理采用行向量，opengl是列向量优先，原理类似。

2）公式的直观理解：4*4矩阵可以分为3*3的旋转矩阵RotMat和一个3*1的平移向量TransVec：

[R^T, U^T, L^T], [-R^T.dot(P), -U^T.dot(P), -L^T.dot(P) ]

3*3的矩阵将父坐标系的三个坐标轴旋转成R，U，L:

(1,0,0) *RotMat=(Rx, Ry, Rz)

(0,1,0) *RotMat=(Ux, Uy, Uz)

(0,0,1)*RotMat=(Lx, Ly, Lz)

根据上面三个等式也可以确定RotMat = [R^T, U^T, L^T]，将RotMat扩展为4*4的矩阵：

M44 =

该矩阵可以把父坐标系中的P点变换为孩子坐标系的原点，即：

(Px, Py, Pz,1) * M44 = (0,0,0,1)

进而解方程得出：

a = -P.dot(R)

b = -P.dot(U)

c = -P.dot(L)

二、代码实现

opengl中的gluLookAt函数：eye，target，up

//eye 为眼睛位置，target为看的目标位置，up为照相机的正方向 Matrix4<Type> MakeView( const gtl::Vec3<Type>& eyes, const gtl::Vec3<Type>& target, const gtl::Vec3<Type>& up) { // f-> look/z // u-> up/y // s-> right/x gtl::Vec3<Type> f = target - eyes; f.normalize(); gtl::Vec3<Type> s = f.cross(up); s.normalize(); gtl::Vec3<Type> u = s.cross(f); Type sdote = s.dot(eyes); Type fdote = f.dot(eyes); Type udote = u.dot(eyes); return Matrix4<Type>( s.x(), u.x(), -f.x(), 0.0, s.y(), u.y(), -f.y(), 0.0, s.z(), u.z(), -f.z(), 0.0, -sdote, -udote, fdote, 1 ); }

对比最终的Matrix4矩阵和第一部分中的推导，会发现第三列差个符号：因为opengl中视点必须位于z轴负方向，视线方向为-z方向，所以最终4*4矩阵中L分量取负，而L^T.dot(P) 平移分量为正。

代码中返回的矩阵，与第一章中给出的矩阵不太一样，正好取了一个转置矩阵。因为opengl的列优先向量。