[NOIP2016] 换教室

数学期望

因为每个时间都是相互独立的，所以考虑期望dp的方法来解决
我们发现一个点有没有申请成功是对前后会造成影响的，所以我们需要维护三维状态
$f[i][j][opt]$表示第$i$节课，前面一共申请了$j$次，这次有没有申请

先考虑$f[i][j][0]$，他可以由$f[i-1][j][0]$和$f[i-1][j][1]$转移过来

• 当从$0$转移过来时，这个时候起止点是固定的，所以就是$f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]$
• 当从$1$转移过来时，这个时候起点不固定的，有$k[i]$的概率在$d[i]$，相应的有$1-k[i]$的概率在$c[i]$,所以我们的转移量就是$f[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]]\times (1-k[i])+dis[d[i-1]][c[i]]\times k[i]$

两种情况取一个最小值就可以

Q：为什么直接加起来就可以呢？
A：因为期望的性质2，两个事件合并起来的期望等于他们两个期望的和

考虑$f[i][j][1]$，这个东西会比较麻烦因为你不知道走到哪里

就直接列转移了

• $f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]]\times (1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]\times k[i]$
• $$\begin{gathered} f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]\times (1-k[i-1])\times (1-k[i]) \\ +dis[c[i-1]][d[i]]\times (1-k[i-1])\times k[i] \\ +dis[d[i-1]][c[i]]\times k[i-1]\times (1-k[i]) \\ +dis[d[i-1]][d[i]]\times k[i-1]\times k[i] \end{gathered}$$

还是两项取min
$dis$可以Floyd计算出来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=2005;
const int M=305;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

int n,m,v,e;
int c[N],d[N];
int g[M][M];
double k[N],f[N][N][2];
double ans=1e9;

void floyd(){
    Rep(k,1,v)
        Rep(i,1,v)
            Rep(j,1,v)
                g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
}

int main()
{
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    read(n),read(m),read(v),read(e);
    Rep(i,1,n)Rep(j,0,m)f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e9;
    Rep(i,1,v)g[i][i]=0;
    Rep(i,1,n)read(c[i]);
    Rep(i,1,n)read(d[i]);
    Rep(i,1,n)scanf("%lf",&k[i]);
    Rep(i,1,e){
        int x,y,c;
        read(x),read(y),read(c);
        g[x][y]=min(g[x][y],c);
        g[y][x]=min(g[y][x],c);
    }
    floyd();
    f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
    Rep(i,2,n)
        Rep(j,0,m){
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+g[c[i-1]][c[i]],
                           f[i-1][j][1]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])+g[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]);
            if(j)f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])+g[c[i-1]][d[i]]*k[i],
                                f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+
                                               g[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+
                                               g[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+
                                               g[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]);
        }
    Rep(i,0,m)ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
    printf("%.2lf\n",ans);
    return 0;
}