【P1850】换教室（NOIP2016）-优快云博客

换教室（NOIP2016）

题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1850

题目描述

对于刚上大学的牛牛来说，他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。

在可以选择的课程中，有 2n节课程安排在 n个时间段上。在第 i（1≤i≤n）个时间段上，两节内容相同的课程同时在不同的地点进行，其中，牛牛预先被安排在教室c_i上课，而另一节课程在教室d_i进行。

在不提交任何申请的情况下，学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的 n节安排好的课程。如果学生想更换第 i节课程的教室，则需要提出申请。若申请通过，学生就可以在第 i个时间段去教室d_i上课，否则仍然在教室 c_i 上课。

由于更换教室的需求太多，申请不一定能获得通过。通过计算，牛牛发现申请更换第 i节课程的教室时，申请被通过的概率是一个已知的实数k_i，并且对于不同课程的申请，被通过的概率是互相独立的。

学校规定，所有的申请只能在学期开始前一次性提交，并且每个人只能选择至多 m 节课程进行申请。这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室，而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申请；牛牛可以申请自己最希望更换教室的 m 门课程，也可以不用完这 m 个申请的机会，甚至可以一门课程都不申请。

因为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行，所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。

牛牛所在的大学有 v个教室，有 e条道路。每条道路连接两间教室，并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同，通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第 i（1≤i≤n−1）节课结束后，牛牛就会从这节课的教室出发，选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。

现在牛牛想知道，申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小，请你帮他求出这个最小值。

输入输出格式

输入格式：

第一行四个整数n,m,v,e。n 表示这个学期内的时间段的数量；m 表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室；v 表示牛牛学校里教室的数量；e表示牛牛的学校里道路的数量。

第二行 n个正整数，第 i（1≤i≤n）个正整数表示c_i，即第 i个时间段牛牛被安排上课的教室；保证1≤c_i≤v。

第三行 n个正整数，第 i（1≤i≤n）个正整数表示d_i，即第i个时间段另一间上同样课程的教室；保证1≤d_i≤v。

第四行 n个实数，第 i（1≤i≤n）个实数表示k_i，即牛牛申请在第 i 个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤k_i≤1。

接下来 e行，每行三个正整数a_i,b_i,w_i，表示有一条双向道路连接教室，通过这条道路需要耗费的体力值是w_i；保证1≤a_i,b_i≤v，1≤w_i≤100。

保证1≤n≤2000，0≤m≤2000，1≤v≤300，0≤e≤90000。

保证通过学校里的道路，从任何一间教室出发，都能到达其他所有的教室。

保证输入的实数最多包含 33 位小数。

输出格式：

输出一行，包含一个实数，四舍五入精确到小数点后恰好22位，表示答案。你的输出必须和标准输出完全一样才算正确。

测试数据保证四舍五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于 4*10^-3。（如果你不知道什么是浮点误差，这段话可以理解为：对于大多数的算法，你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理）

输入输出样例

输入样例#1：

3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5
1 2 5
1 3 3
2 3 1

输出样例#1：

2.80

~~（第一次写博客心慌，蒟蒻的哭泣QAQ）~~

思路

~~我能说最先我看到这道题的时候整个人都是懵的吗？~~
实际上，这种题一看就知道要DP，数据楞个大，而且无后效性（也就是说你后面怎么选的影响不了前面的结果）

显然，我们先要算出两点之间的最小路（预处理），直接用Floyd就可以了~~（因为教室数目小，只有300，不会爆空间）~~
部分代码如下：

void Floyd(){
	for(int k=1;k<=v;k++){
		for(int i=1;i<=v;i++){
			for(int j=1;j<=v;j++){
				if(G[i][k]==INF||G[k][j]==INF)continue;//?!!!!!!!!!!
				G[i][j]=min(G[i][j],G[i][k]+G[k][j]);
			}
		}
	}
}

需要注意的是，由于初始化的时候是将全部置为INF，所以当计算G[i][k]+G[k][j]，很可能出现溢出的情况，所以需要特判~~（因为这个WA了我好久QAQ还是经验不足惹的祸）~~

然后就可以开始愉快（bushi）的算期望了

（不知道期望是什么朋友请问度娘Orz）

我们设f[i][j][0/1]来表示前i个时间段（包括i）换了j次教室，第i次（即这节课）换教室（1）或不换教室（0）的期望体力值 。
用P[i]来表示第i次成功的概率
每一个状态都可以由前一天的状态转移过来w
大体上我们可以先分成两类来进行讨论：

一. 第i天不换教室

1.如果前一天也没有选择课程，则有：

f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+G[c[i-1]][c[i]];

这个应该很容易就能想到
2.如果前一天选择了课程，则有：

f[i][j][0]=f[i-1][j][1]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i-1])+G[d[i-1]][c[i]]*P[i-1];

其中G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i-1])是前一次换教室失败的概率，G[d[i-1]][c[i]]*P[i-1]是前一次换教室成功的概率。

二.第i天要换教室

这种情况就有点复杂了（写代码的时候把自己写睡着了QAQ）
但实际上想清楚了也很简单（主要是我傻1551）

先上部分代码：

f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i])+G[c[i-1]][d[i]]*P[i];
temp=f[i-1][j-1][1]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i-1])*(1.0-P[i]);
temp+=G[d[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i])*P[i-1];
temp+=G[c[i-1]][d[i]]*(1.0-P[i-1])*P[i];
temp+=G[d[i-1]][d[i]]*P[i-1]*P[i];
f[i][j][1]=min(f[i][j][1],temp);

好吧看着是有点晕
解释一下：
若是前一次没有换教室，那么这次 f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+G[c[i-1]][c[i]](1.0-P[i])+G[c[i-1]][d[i]]P[i]这个不难理解
麻烦的是后面
如果前一次换过了教室，那么就有四种情况：
1.前一次成功这一次失败：
G[d[i-1]][c[i]](1.0-P[i])P[i-1]
2.前一次失败这一次成功：
G[c[i-1]][d[i]](1.0-P[i-1])P[i]
3.两次均失败：
G[c[i-1]][c[i]](1.0-P[i-1])(1.0-P[i])
4.两次均成功：
G[d[i-1]][d[i]]*P[i-1]*P[i]
（一个排列组合+乘法原理就能理解的事）
那么上述式子相加即可得到期望值

放代码！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2010;
const int MAXV=333;
const int INF=2139062143;
int G[MAXV][MAXV],c[MAXN],d[MAXN];
double P[MAXN],f[MAXN][MAXN][2],ans;
int n,m,v,e,tot;
//n--课程数目，m-选课次数，v-教室数目【！】，e-道路数目【！】 
inline int read(){
	int num=0;
	char ch;
	ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0'){
		num=num*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return num;
}
void init(){
	int fr,t,w;
	n=read(),m=read(),v=read(),e=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		d[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf",&P[i]);
	}
	memset(G,127,sizeof(G));
	for(int i=1;i<=e;i++){
		fr=read(),t=read(),w=read();
		G[fr][t]=min(G[fr][t],w);
		G[t][fr]=G[fr][t];
	}
	for(int i=1;i<=v;i++)G[i][i]=0;
	memset(f,127,sizeof(f));
}
void Floyd(){
	for(int k=1;k<=v;k++){
		for(int i=1;i<=v;i++){
			for(int j=1;j<=v;j++){
				if(G[i][k]==INF||G[k][j]==INF)continue;
				G[i][j]=min(G[i][j],G[i][k]+G[k][j]);
			}
		}
	}
}
int main(){
//	freopen("classroom.in","r",stdin);
//	freopen("classroom.out","w",stdout);
	double temp;
	init();
	Floyd();
	f[1][0][0]=0;
	f[1][1][1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+G[c[i-1]][c[i]];//??!!!
		for(int j=1;j<=min(m,i);j++){
			f[i][j][0]=f[i-1][j][1]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i-1])+G[d[i-1]][c[i]]*P[i-1];
			//前一次换过教室，没有成功与成功了【指的是前一次！】 
			f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+G[c[i-1]][c[i]]);//前面那次不换教室 
			f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i])+G[c[i-1]][d[i]]*P[i];
			//前一次不换这一次要换教室，这次没换成功与换成功了 
			temp=f[i-1][j-1][1]+G[c[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i-1])*(1.0-P[i]);//上一次要换的情况下 
			//1.这两次都没有成功 
			temp+=G[d[i-1]][c[i]]*(1.0-P[i])*P[i-1];
			//2.前一次成功这一次失败 
			temp+=G[c[i-1]][d[i]]*(1.0-P[i-1])*P[i];
			//3.前一次失败这一次成功 
			temp+=G[d[i-1]][d[i]]*P[i-1]*P[i];
			//4.这两次都成功了 
			f[i][j][1]=min(f[i][j][1],temp);
		}
	}
	ans=INF;
	for(int i=0;i<=m;i++){
		ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
	}
	printf("%.2lf\n",ans);
	return 0;
}

特别提醒：

	这题目的描述有毒QAQ，n--课程数目，m-选课次数，v-教室数目，e-道路数目
	第一遍的时候看错了真的很桑心15555551

最后总结一下做题的收获吧

算是第一次做真题吧，发现自己在读题方面真的很不细心，看见题目长了就不想读（懒癌晚期患者），
对于变量的含义也是模糊的，搞不清楚什么表示的什么，这点需要改！
还有就是在思考的时候一定要把想法写下来！！！
不然真的很容易写着写着就把自己绕了进去QAQ
第一次做概率DP，真tm的难，烦！

~~（好了没屁放了）~~
（如果有错误请大佬指出QAQ俺会改的）