【概率/期望】【DP】NOIP2016换教室

最新推荐文章于 2022-10-11 19:05:15 发布

原创

最新推荐文章于 2022-10-11 19:05:15 发布 · 155 阅读

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这篇博客回顾了NOIP2016中的一道概率DP题目，作者发现之前的暴力解法效率低下，并给出了优化后的DP解决方案。博客详细解释了状态转移方程，讨论了如何根据前一节课的状态来计算当前状态的最小期望代价。通过枚举申请结果并乘以相应概率，得出最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

重做自己以前考过的题。。。

突然有种成长的感觉。。。（觉得以前的自己就是个智障）

这么水的概率DP题。。。放CFDiv1里面顶多也就B题的位置。。。我当年居然写的暴力。。。

dp定义很简单，转移也很简单

$DP[i][j][0/1]$ 表示前i节课，申请了j次换课的最小期望代价，因为代价是要基于i-1位置的，所以要加一维表示当前这一节课有没有申请。

然后
$DP[i][j][0]=min\{DP[i-1][j][0]+dist(c_{i-1},c_i),DP[i-1][j][1]+dist(c_{i-1},c_i)*(1-k_{i-1})+dist(d_{i-1},c_i)*k_{i-1}\}$

$DP[i][j][1]=min\{DP[i-1][j-1][0]+dist(c_{i-1},c_i)*(1-k_i)+dist(c_{i-1},d_i)*k_i,DP[i-1][j-1][1]+dist(c_{i-1},c_i)*(1-k_{i-1})*(1-{k_i})+dist(c_{i-1},d_i)*(1-k_{i-1})*k_i+dist(d_{i-1},c_i)*k_{i-1}*(1-k_i)+dist(d_{i-1},d_i)*k_{i-1}*k_i\}$

似乎是有点长哈。。不过其实挺简单的，就是手动枚举这两个点的申请结果，再乘以对应概率。

答案就是 $min\{DP[n][i][0/1]\}(i\in [0,m])$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 2010
#define MAXM 310
#define INF 1000000000
using namespace std;
double dp[MAXN][MAXN][2];
int dist[MAXM][MAXM],n,m,v,e;
int c[MAXN],d[MAXN];
double k[MAXN];
int main(){
    SF("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        SF("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        SF("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        SF("%lf",&k[i]);
    memset(dist,0x3f3f3f3f,sizeof dist);
    for(int i=1;i<=v;i++)
        dist[i][i]=0;
    int x,y,val;
    for(int i=1;i<=e;i++){
        SF("%d%d%d",&x,&y,&val);
        dist[x][y]=min(dist[x][y],val);
        dist[y][x]=dist[x][y];
    }
    for(int l=1;l<=v;l++)
        for(int i=1;i<=v;i++)
            for(int j=1;j<=v;j++)
                dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][l]+dist[l][j]);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=INF;
    dp[1][0][0]=0;
    dp[1][1][1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++){
            dp[i][j][0]=min(dp[i-1][j][0]+dist[c[i-1]][c[i]],dp[i-1][j][1]  +  dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])  +dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]);
            if(j>0)
                dp[i][j][1]=dp[i-1][j-1][0]  +  dist[c[i-1]][d[i]]*k[i]  +  dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]);
            if(j>1)
                dp[i][j][1]=min(dp[i][j][1],dp[i-1][j-1][1]  +  dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*(1-k[i-1])  +  dist[c[i-1]][d[i]]*k[i]*(1-k[i-1])  +  dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])  +  dist[d[i-1]][d[i]]*k[i]*k[i-1]);
        }
    double ans=INF;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        ans=min(ans,min(dp[n][i][0],dp[n][i][1]));
    PF("%.2lf",ans);
}