[HAOI2012] 高速公路

这道题有一种解法是维护区间和，区间和$\times i$，区间和$\times i^2$，但是这就需要很多的数学推导，这里有一种不同的方法，几乎不需要任何数学推导

你只需要会

• 等差数列求和公式
• 平方和公式
• 数学期望的定义
• 线段树

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因为这道题的信息在边上，所以我们可以考虑让线段树存$(l,r)$之间的边的信息

首先确定我们需要维护什么内容，因为这道题是选择点是等概率的，所以我们可以先求出所有方案的综合，再除以$C_{siz}^2$就可以了
所以显然我们需要维护一个所有方案的费用总和$ans$
但是只维护这一个显然是不行的，考虑我们合并两棵子树的信息的时候

我们的答案应该包括两个端点都在左边的情况，也就是$ans[lson]$和$ans[rson]$
但是这是不够的，因为两个端点有可能在$mid$的两边，也就是一个在左儿子的区间，一个在右儿子的区间
那么这种情况的答案是什么呢？
我们考虑让每个点走到$mid$，也就是对于一条边$(x,y)$，我们把它拆成$(x,mid)$和$(mid,y)$两段

对于左半部分的每一个点，他都需要和右半部分的每一个点连一条边，也就是说每个点都要向$mid$走$siz[rson]-1$次，同理，右半部分的每个点都要向左半部分的每个点连一条边，也就是说右半部分每个点都要向$mid$走$siz[lson]-1$次，然后考虑快速的维护这一信息，我们需要再维护两（三）个量

• $tol$表示这个区间内所有的点走向左端点的费用之和
• $tor$表示这个区间内所有的点走向右端点的费用之和
• $siz$表示这个区间的大小，但是其实也可以$r-l+1$得到，但是为了方便记一下也行

那么这个时候我们的$ans$就可以快速更新了，在合并两棵子树的时候：

$$ans[i]=ans[lson]+ans[rson]+tor[lson]\times (siz[rson]-1)+tol[rson]\times (siz[lson]-1)$$
注意这里$-1$的原因是我们不需要走到$mid$，但是因为我们线段树存的是区间，所以$mid$这里左右子树是有交集的

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那么现在又来了个问题，我们怎么更新$tol$和$tor$呢？
其实很简单，$tol[i]$显然应该包含$tol[lson]$，同时我们又需要让右子树中的每一个节点都再走一个左子树的费用，所以我们还需要维护一个

• $sum$表示该点的全部距离和

那么
$$tol[i]=tol[lson]+tol[rson]+sum[lson]\times (siz[rson]-1)$$
$tor$的维护方法和$tol$差不多，$sum$维护也挺简单，不说了

那么这样的话我们把合并子树的问题解决掉了，接下来还有一个问题就是对于区间修改怎么做

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还是一个一个来说吧，首先是$ans$
显然，$ans$应该加上的值是$v\times$区间中所有边的长度和
比如对于这一个区间，我们分别考虑长度不同的边分别有几条

手画过丑勿喷
我们会发现对于一个长度为$siz$的区间，他拥有一条长度为$siz-1$的边，两条$siz-2$的边…$siz$条$siz-siz=0$的边，转化成数学式子就是${\sum }_{i=1}^{siz}i\times (siz-i)$，然后我们拆开这个式子，得到${\sum }_{i=1}^{siz}(i\times siz+i^2)$，也就是$siz\times {\sum }_{i=1}^{siz}i+{\sum }_{i=1}^{siz}si{z}^2$，然后根据等差数列求和公式和前$n$项平方和公式，我们可以得到对于一个长度为$siz$的区间，当每条边的费用增加$v$之后，答案应该增加
$$v\times (siz\times \frac{siz(siz-1)}{2}-\frac{siz(siz+1)(2\times siz+1)}{6})$$
其实可以进一步分解，但是懒

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接下来是$tol$和$tor$
这个其实很简单，加上$v\times {\sum }_{i=1}^{siz-1}i$就可以
注意这里为什么只加到$siz-1$呢？因为左端点是不用走到左端点的
$tor$同理
$sum$不讲

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然后就没了，写得时候注意一下细节就可以了
感觉这种方法比维护$i^2$什么的方法要好想一点，代码实现也不难，而且不用去找$hack$数据，毕竟这个样例强度海星

下面是代码啦：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=1e5+5;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

int n,m;

struct node{
    int l,r;
    ll ans,tol,tor,siz,sum;
    ll tag;
}seg[N<<2];

# define lc (u<<1)
# define rc (u<<1|1)

ll gcd(ll a,ll b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

node merge(node l,node r){
    node res;
    res.l=l.l,res.r=r.r;
    res.ans=l.ans+r.ans+l.tor*(r.siz-1)+r.tol*(l.siz-1);
    res.tol=l.tol+r.tol+l.sum*(r.siz-1);
    res.tor=l.tor+r.tor+r.sum*(l.siz-1);
    res.siz=res.r-res.l+1;
    res.sum=l.sum+r.sum;
    res.tag=0;
    return res;
}

void renew(int u,ll k){
    ll siz=seg[u].siz;
    seg[u].ans+=k*(siz*siz*(siz+1)/2-siz*(siz+1)*(2*siz+1)/6);
    seg[u].tol+=k*(siz*(siz-1)/2);
    seg[u].tor+=k*(siz*(siz-1)/2);
    seg[u].sum+=k*(siz-1);
}

void pushdown(int u){
    renew(lc,seg[u].tag);
    renew(rc,seg[u].tag);
    seg[lc].tag+=seg[u].tag;
    seg[rc].tag+=seg[u].tag;
    seg[u].tag=0;
}

void build(int u,int l,int r){
    seg[u].l=l,seg[u].r=r;
    seg[u].siz=r-l+1;
    if(r==l+1)return;
    int mid=l+r>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid,r);
}

void update(int u,int l,int r,ll k){
    if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r){
        renew(u,k);
        seg[u].tag+=k;
        return;
    }
    if(seg[u].tag)pushdown(u);
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    if(l<mid)update(lc,l,r,k);
    if(r>mid)update(rc,l,r,k);
    seg[u]=merge(seg[lc],seg[rc]);
}

node query(int u,int l,int r){
    if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r)return seg[u];
    if(seg[u].tag)pushdown(u);
    int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
    if(r<=mid)return query(lc,l,r);
    if(l>=mid)return query(rc,l,r);
    return merge(query(lc,l,r),query(rc,l,r));
}

int main()
{
    read(n),read(m);
    build(1,1,n);
    Rep(i,1,m){
        char opt[10];
        ll x,y,k;
        scanf("%s",opt);
        read(x),read(y);
        if(opt[0]=='C')read(k),update(1,x,y,k);
        else{
            ll fz=query(1,x,y).ans;
            ll fm=1ll*(y-x+1)*(y-x)/2;
            ll _g=gcd(fm,fz);
            printf("%lld/%lld\n",fz/_g,fm/_g);
        }
    }
    return 0;
}