扩展欧拉定理

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结论

$m,gcd⁡(a,m)≠1∧c≥ϕ(m)\forall a,c,m\in Z^+, \begin{cases} a^c\equiv a^{c\bmod \phi(m)}\bmod m,\gcd(a,m)=1 \\ a^c\equiv a^c\bmod m,\gcd(a,m)\neq 1\land c<\phi(m) \\ a^c\equiv a^{c\mod \phi(m)+\phi(m)}\bmod m ,\gcd(a,m)\neq 1\land c\geq \phi(m) \end{cases}$

证明

对于第一个，就是欧拉定理
对于第二个，没啥可说的，，，
下面简单证明一下第三个
设 $c=b+ϕ(m)c=b+\phi(m)$
设 $m=s⋅pr,gcd⁡(s,p)=1m=s\cdot p^r,\gcd(s,p)=1$
引理1： $ϕ(m)−r≥0\phi(m)-r\geq 0$
证明：
$\begin{aligned} \phi(m)&=\phi(s)\cdot\phi(p^r) \\ &=\phi(s)\cdot\phi(p)\cdot p^{r-1} \\ &=\phi(s)\cdot(p-1)\cdot p^{r-1} \\ &\geq p^{r-1}\geq 2^{r-1}\geq r \end{aligned} \\ \therefore \phi(m)-r\geq 0 \\ Q.E.D.$
引理2： $m\forall 质数p,p^c\equiv p^{c\bmod \phi(m)+\phi(m)}\bmod m$
证明：
$\begin{aligned} 由欧拉定理，p^{\phi(s)}&\equiv 1\ &\bmod s \\ \because \phi(m)&=\phi(s)\phi(p^r) \\ \therefore p^{\phi(m)}&\equiv1\ &\bmod s \\ \therefore p^b&\equiv p^{b\mod\phi(m)}\ &\bmod s \\ 由同余的性质两边同时乘上p^r,p^{b+r}&\equiv p^{b\mod\phi(m)+r}\ &\bmod m(变了) \\ 由引理1,两遍同时乘上p^{\phi(m)-r},p^{b+r+\phi(m)-r}&\equiv p^{b\bmod \phi(m)+r+\phi(m)-r}\ &\bmod m \\ p^{b+\phi(m)}&\equiv p^{b\bmod \phi(m)+\phi(m)}\ &\bmod m \\ p^c&\equiv p^{[b+\phi(m)]\bmod \phi(m)+\phi(m)}\ &\bmod m \\ p^c&\equiv p^{c\bmod\phi(m)+\phi(m)}\ &\bmod m \\ \end{aligned}\\ \qquad Q.E.D.$