[vijos1477] 跳动的水珠

原创于 2020-03-26 16:24:11 发布 · 232 阅读

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本文详细解析了一道洛谷竞赛题的80分和满分做法，通过构建转移矩阵和优化算法，实现对复杂状态的高效求解。文章分享了代码实现细节，包括使用矩阵运算和快速幂优化，以及如何将问题转化为线性表形式，简化计算过程。

给个洛谷网址吧qwq传送门

这题先说80分做法吧（洛谷上70分）
显然我们可以对于每一个时间构造一个矩阵表示变化情况，然后我们注意到，因为 $l_{i,j}=\{3,7,9\}$ ，所以每63个时间是一个循环，那么我们构造63个转移矩阵，然后连乘起来，再快速幂优化，有点类似于沼泽鳄鱼那道题

简单放一下70分代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=70;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

int n,m,x,p,t;
int to[N][N],tot;
string l[N][N],s;
int sz;

struct matrix{
    int a[N][N];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void build(){
        Rep(i,1,sz)a[i][i]=1;
    }
    void print(){
        Rep(i,1,sz)
            Rep(j,1,sz)printf("%d%c",a[i][j],j==sz?'\n':' ');
    }
    matrix operator * (const matrix &x)const {
        matrix res;
        Rep(i,1,sz)
            Rep(j,1,sz)
                Rep(k,1,sz)
                    res.a[i][j]=1ll*(res.a[i][j]+1ll*a[i][k]*x.a[k][j]%p)%p;
        return res;
    }
}A[N],B,ans;

matrix Qpow(matrix base,int ind){
    matrix res;
    res.build();
    while(ind){
        if(ind&1)res=res*base;
        base=base*base;
        ind>>=1;
    }
    return res;
}

void output(matrix A){
    Rep(i,1,n){
        int last=-1e9,tim=0;
        Rep(j,1,m){
            int pos=to[i][j];
            if(A.a[1][pos]==last)tim++;
            else{
                if(tim)printf("%d %d ",tim,last);
                last=A.a[1][pos];
                tim=1;
            }
        }
        if(tim)printf("%d %d\n",tim,last);
    }
}

int main()
{
    read(n),read(m),read(x),read(p),read(t);
    Rep(i,1,n)
        Rep(j,1,m){
            int len;
            read(len);
            cin>>s;
            Rep(k,1,63/len)l[i][j]+=s;
        }
    Rep(i,1,n)
        Rep(j,1,m)
            to[i][j]=++tot;
    sz=n*m+1;
    Rep(k,0,62){
        Rep(i,1,n)
            Rep(j,1,m)
                switch(l[i][j][k]){
                    case 'C':
                        A[k+1].a[to[i][j]][to[i][j]]=1;
                        A[k+1].a[sz][to[i][j]]=x;
                        break;
                    case 'U':
                        if(i>1)A[k+1].a[to[i][j]][to[i-1][j]]++;
                        break;
                    case 'D':
                        if(i<n)A[k+1].a[to[i][j]][to[i+1][j]]++;
                        break;
                    case 'L':
                        if(j>1)A[k+1].a[to[i][j]][to[i][j-1]]++;
                        break;
                    case 'R':
                        if(j<m)A[k+1].a[to[i][j]][to[i][j+1]]++;
                        break;
                }
        A[k+1].a[sz][sz]=1;
    }
    ans.a[1][sz]=1;
    if(t<=63){
        Rep(i,1,t)ans=ans*A[i];
        output(ans);
        return 0;
    }
    B.build();
    Rep(i,1,63)B=B*A[i];
    ans=ans*Qpow(B,t/63);
    Rep(i,1,t%63)ans=ans*A[i];
    output(ans);
    return 0;
}

建议先写出70分做法，这样对于思考满分做法有很大帮助，而且满分代码只需要在70分代码上简单改动就可以了

接下来我们考虑满分做法，我们考虑我们最开始设计的那些转移矩阵，其实非常稀疏，除了1那一行以外每一行就一个数，那么相应的引申出两种解决方案，一个是用链表来存矩阵，~~好像大家都是这么做的~~，但是我tcl，只能写更弱的方法
我们发现，一些水珠经过一段时间去了哪里我们是确定的，所以我们把原来的矩阵转化成一个线性表， $A . l i n k [i]$ 表示重新标号之后编号为 $i$ 的点最后去了哪里，那么显然在两个"矩阵" $A$ 和 $B$ 合并成一个新的"矩阵"的时候， $C . l i n k [i] = B . l i n k [A . l i n k [i]]$ ，这个还是挺好理解的吧qwq，那么接下来考虑产生水的情况，我们用 $A . c r e a t e [i]$ 表示"矩阵" $A$ 在这个时间内点 $i$ 处新产生了多少水，那么我们考虑"矩阵" $A$ , $B$ 合并成 $C$ 之后， $i$ 点所含的水珠格式 $C . v a l [i]$ ，首先应该包含 $B . c r e a t e [i]$ ，同时，对于所有 $B . l i n k [j] = i$ 的 $j$ ， $C . v a l [i]$ 应该还要包含 $A . v a l [j]$ ，因为他从 $j$ 经过 $l i n k$ 的作用，到达了 $i$ ，那么我们最后发现这个 $c r e a t e$ 数组可以融入到 $v a l$ 中，也必须这样，因为当我们后面做快速幂的时候，是一下乘上表示一段的"矩阵"，但是 $c r e a t e$ 只能表示一个时间的情况。

所以如果你刚才写的是重载运算符的写法，你只需要把重载乘号的地方改一下，建立"矩阵"的部分改一下，还有建立单位矩阵的方式改一下就好了

对于新的"矩阵"的"单位矩阵 $I$ "，我们让 $I . v a l [i] = 0, I . l i n k [i] = i$ 就可以了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=105;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

int n,m,x,p,t;
int to[N][N],tot;
string l[N][N],s;
int sz;

struct matrix{
    int link[N*N],val[N*N];
    matrix(){memset(link,0,sizeof(link)),memset(val,0,sizeof(val));}
    void build(){
        Rep(i,1,sz)link[i]=i;
    }
    void print(){
        Rep(i,1,n)
            Rep(j,1,m)
                printf("%d%c",val[to[i][j]],j==m?'\n':' ');
    }
    matrix operator * (const matrix &x)const {
        matrix res;
        Rep(i,1,sz)
            res.link[i]=x.link[link[i]];
        Rep(i,1,sz)res.val[x.link[i]]+=val[i],res.val[x.link[i]]%=p;
        Rep(i,1,sz)res.val[i]+=x.val[i],res.val[i]%=p;
        return res;
    }
}A[N],B,ans;

matrix Qpow(matrix base,int ind){
    matrix res;
    res.build();
    while(ind){
        if(ind&1)res=res*base;
        base=base*base;
        ind>>=1;
    }
    return res;
}

void output(matrix A){
    Rep(i,1,n){
        int last=-1e9,tim=0;
        Rep(j,1,m){
            int pos=to[i][j];
            if(A.val[pos]==last)tim++;
            else{
                if(tim)printf("%d %d ",tim,last);
                last=A.val[pos];
                tim=1;
            }
        }
        if(tim)printf("%d %d\n",tim,last);
    }
}

int main()
{
    read(n),read(m),read(x),read(p),read(t);
    Rep(i,1,n)
        Rep(j,1,m){
            int len;
            read(len);
            cin>>s;
            Rep(k,1,63/len)l[i][j]+=s;
        }
    Rep(i,1,n)
        Rep(j,1,m)
            to[i][j]=++tot;
    sz=n*m;
    Rep(k,0,62){
        Rep(i,1,n)
            Rep(j,1,m)
                switch(l[i][j][k]){
                    case 'C':
                        A[k+1].link[to[i][j]]=to[i][j];
                        A[k+1].val[to[i][j]]+=x;
                        break;
                    case 'U':
                        if(i>1)A[k+1].link[to[i][j]]=to[i-1][j];
                        break;
                    case 'D':
                        if(i<n)A[k+1].link[to[i][j]]=to[i+1][j];
                        break;
                    case 'L':
                        if(j>1)A[k+1].link[to[i][j]]=to[i][j-1];
                        break;
                    case 'R':
                        if(j<m)A[k+1].link[to[i][j]]=to[i][j+1];
                        break;
                }
    }
    if(t<=63){
        Rep(i,1,t)ans=ans*A[i];
        output(ans);
        return 0;
    }
    B.build();
    Rep(i,1,63)B=B*A[i];
    ans=Qpow(B,t/63);
    Rep(i,1,t%63)ans=ans*A[i];
    output(ans);
    return 0;
}